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La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Losconjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1
Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como paraconstruir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de aquélla. En la actualidad seacepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo comoherramienta auxiliar. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Poresta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.
La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos,unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenecen al conjunto, y esta nociónde pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos

La teoría de conjuntos (cualquiera de ellas) es una teoría axiomática lo suficientemente potente como para formalizar cualquier razonamiento matemático. En su seno se demuestran resultados sobrenúmeros, sobre geometría, sobre juegos de azar, sobre el movimiento de los planetas, sobre fluidos, sobre electrones y rayos de luz, etc. Nada nos impide, pues, usar la teoría de conjuntos para...