Vestores Ortanormales

Vectores Ortonormales
Para la obtención de dicho conocimiento es necesario que recordemos lo que los conceptos de vectores ortogonales y unitarios.
Definición
Un conjunto de vectores de un espaciovectorial se dice que es un Conjunto Ortogonal, si cada par de vectores en el conjunto, es Ortogonal. Se dice que el Conjunto es Ortonormal si este es Ortogonal y cada uno de sus vectores esunitario.
Muestre que el conjunto es un conjunto Ortonormal.
Respuesta
Es claro que , y , esto significa que los vectores son mutuamente ortogonales.
Solo basta mostrar que los vectores son unitarios,para ello calcularemos la norma de cada uno.

Así concluimos que los vectores son ortogonales y unitarios, por lo tanto el conjunto es Ortonormal.
Ejercicios
Muestre que los siguientes conjuntosa)
b)
Son Ortonormales.

Teorema
Un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero de un espacio vectorial es linealmente independiente.
Definición
Una base que es un conjuntoortogonal se dice que es una Base Ortogonal. Una base que es un conjunto ortonormal se dice que es una Base Ortonormal.

Observemos que las Bases Canónicas son Ortonormales.

Es claro que cualquiervector de un espacio vectorial, se puede expresar como una combinación lineal única de los vectores de la base.

El siguiente Teorema indica que una base ortonormal es útil para el análisis de unespacio vectorial, ya que es relativamente fácil hallar la combinación lineal de cualquier vector.
Teorema
Sea el conjunto una base ortonormal del espacio vectorial y sea un vector en , se puedeexpresar como una combinación lineal de los vectores de la base, de la manera siguiente:

Ejemplo
Los vectores , y , constituyen una base ortonormal para como lo vimos en el ejemplo anterior, expreseel vector como una combinación lineal de estos vectores.
Respuesta
Es claro que:

Así la combinación lineal del vector es:

Ejercicio
Pruebe que los siguientes vectores , y , constituyen...