Vibraciones

Tema 5
Vibraciones

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MECÁNICA

5. VIBRACIONES

5.1. INTRODUCCIÓN
Se denomina vibración al movimiento de un punto material, o de un sistema,
alrededor de una posición de equilibrio, que se repite en todas sus características
transcurrido un cierto intervalo de tiempo que se denomina periodo. Los movimientos
vibratorios aparecen con gran frecuencia en la Naturaleza y se presentan enmuy
diversos campos de la física y la ingeniería. Las oscilaciones de un péndulo o de una
masa suspendida de un resorte son dos ejemplos comunes de movimiento vibratorio,
pero también lo son las vibraciones acústicas, los circuitos eléctricos oscilantes o las
ondas electromagnéticas luminosas o de radio.
A veces, el movimiento no repite todas sus características alrededor de su
posición deequilibrio sino que se produce de un modo irregular en forma aleatoria. Se
tienen entonces las vibraciones aleatorias.
Se dice que el movimiento vibratorio es armónico cuando puede representarse
mediante una función trigonométrica. Esto ocurre, en general, cuando la amplitud
inicial del movimiento es pequeña. En este caso el periodo del movimiento es
independiente de la amplitud. Cuando lasamplitudes iniciales del movimiento son muy
grandes, las vibraciones se caracterizan porque el periodo depende de la amplitud y no
pueden representarse mediante funciones armónicas. Este tipo de vibraciones se
denominan anarmónicas. Como se verá más adelante, el teorema de Fourier permite
expresar cualquier movimiento periódico mediante una superposición de movimientos
armónicos cuyasfrecuencias son múltiplos de la fundamental.
Las características esenciales de un movimiento vibratorio son su periodo T, o su
frecuencia f=1/T, y su amplitud, A, que es la máxima separación de la posición de
equilibrio.

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5.2. VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE
LIBERTAD
Los sistemas con un solo grado de libertad son aquellos cuya configuración puede
definirse mediante unaúnica coordenada. Estos sistemas constituyen una buena
introducción para el análisis de las vibraciones mecánicas y, con frecuencia, pueden
utilizarse como una primera aproximación de una estructura real. Así mismo su análisis
ayuda a comprender mejor el comportamiento de sistemas más complejos con un
mayor número de grados de libertad.

5.2.1. Vibraciones libres
Comenzaremos por el casomás sencillo de un sistema mecánico constituido por una
masa m sujeta a un resorte elástico de constante k. La posición de la masa m puede
conocerse en todo instante mediante una sola coordenada x. No existe ninguna fuerza
exterior que actúe sobre el sistema ni resistencias pasivas de ningún tipo que pudieran
producir amortiguamiento. El movimiento de un sistema de estas características seconoce con el nombre de vibración libre.
Si x0 es la posición de equilibrio del resorte, la fuerza ejercida cuando se separa de esta
posición una distancia x, será:
F = − kx i
y aplicando la ecuación fundamental de la dinámica:

F = ma
se tiene

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MECÁNICA

ɺɺ
mx = − kx

o sea
k
x=0
(16.16)
m
que es la ecuación diferencial del movimiento. Esta ecuación es una ecuacióndiferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Para
obtener la solución se forma la ecuación característica
ɺɺ +
x

r2 +

k
=0
m

cuyas raíces son

r1 = i

k
m

r2 = −i

y

k
m

por lo que la solución es de la forma

x = C1e

i

k
t
m

+ C2 e

−i

k
t
m

y haciendo

ω2 =

k
m

se puede escribir como
x = C1eiω t + C2 e− iω tRecordando la relación de Euler
eiϑ = cos ϑ + isenϑ
resulta

x = C1 (cos ω t + isenω t ) + C2 (cos ω t − isenω t ) =
= (C1 − C2 )isenω t + (C1 + C2 ) cos ω t = Asenω t + B cos ω t
o sea

x = Asenω t + B cos ω t

(16.17)

y las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales del
movimiento.

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Haciendo

A = C cos ϕ
B = Csenϕ

siendo C...