Vigas

Est´tica de Vigas a

20 de mayo de 2006

Los elementos estructurales que vamos a estudiar en este capıtulo estaran a sometidos a fuerzas o distribuciones aplicadas lateral o transversalmente a sus ejes y el objetivo principal que nos ocupar´ ser´ la determinaci´n de a a o fuerzas y momentos internos que se producen ´stos con la condici´n de e o estaticidad, es decir, aplicando las condicionesde equilibrio est´tico que a hemos visto hasta ahora.

1.

Vigas isoest´ticas e hiperest´ticas a a

Definimos una viga hiperest´tica cuando el n´mero de ecuaciones de a u equilibrio no bastan para resolver las reacciones en los v´ ınculos. Esto es debido al exceso de v´ ınculos necesarios para mantener la estaticidad de la viga. El n´mero de ecuaciones extras necesarias para igualar eln´mero de u u ecuaciones al total de incognitas es el grado de hiperestaticidad. Ej.1. El diagrama de cuerpo libre de la viga de masa M doblemente empotrada de la figura:

es

1

Distribuci´n o

En la pr´xima secci´n veremos como sustituir una distribuci´n de fuerza por una o o o fuerza resultante aplicada a una determinada distancia del origen de referencias

1

1

Resultante y brazo depalanca

El equilibrio de fuerzas y momentos expresado matematicamente: F = 0 ⇒Ra + Rb − M g = 0 M = 0 ⇒Ma − M gL/2 + Mb + Rb L = 0 Tenemos dos ecuaciones y cuatro incognitas. Por simetr´ sabemos que ıa, Ra = Rb (ecuaci´n extra), de donde obtenemos que Ra = M g/2. Pero o necesitamos otra relaci´n para calcular Ma = Mb . El grado de hiperestatio cidad en este caso es dos. Ej.2. En la siguienteviga:

el diagrama de cuerpo libre es:

de donde podemos obtener que: Ra + Rb = F, Grado de hiperestaticidad 1.

Ma = Rb L − F d.

2.

Vigas isoest´ticas a

En esta secci´n vamos a restringir nuestro estudio al caso de vigas o isoest´ticas, es decir aquellas para las que las reaciones en los v´ a ınculos 2

pueden ser calculadas a partir de las ecuaciones de equilibrio. Si existendistribuciones de fuerza, ´staa ser´n sutituidas por resultantes e a aplicadas a una determinada distancia de un origen dado. Utilizaremos la siguiente figura, para ilustrar la estaticidad para el caso en el que no existan distribuciones de fuerza axial y las vigas no sean alabeadas. El caso b) queda planteado como problema. Si consideramos las componentes vectoriales de las fuerzas y distribuciones j(en el caso de la figura, j=1,2,3,ρj dx = dFcontinua ˆ obtenemos: j),
n i=1 i Fdiscreta + m j=1 j Fcontinua = 0

FT = donde

j Fcontinua =

ρj (x)dx =
Ωj Ωj

dAj (x)

Entonces

i

i Fd +

j

ρj (x) dx = 0
ΩT

Como cada parte infinitesimal de una distribuci´n realiza un momento reo j j specto al origen de coordenadas con valor rd (x) ΛdFd (x) = x · ρj (x) dx2 , la contribuci´ntotal ser´ la suma de todos los diferenciales de distribuci´n, es o a o decir, su integral:
i i Md + i i xi Fd + d j

x · ρj (x) dx = 0
Ωj

En los siguientes ejemplos calcularemos las reacciones en los v´ ınculos a partir de las ecuaciones:
i i Fd + j

Aj = 0

y
i i Md + i i xi Fd + d j

x · ρj (x) dx = 0
Ωj

En este tipo de problemas, si conocemos los momentos de orden cero
i Mo=

Ωj

ρj (x) dx = Aj R

y uno
j M1 = Ωj j x · ρj (x) dx = MR

de las distribuciones, el problema es trivial.
2 j j siempre que rd sea perpendicular a dFd .

3

3.
3.1.

Ejemplos resueltos y propuestos
Ej.1

El DCL de la viga empotrada es:

j y como la distribuci´n es ρ (x) = −xH/L y MR = o

Ωj

x · ρj (x) dx ;

MR = − y AR = − Como FR = Rd , MR = Md ⇒ Rd − Md −HL2 3 HL 2

HL =0 2 HL2 =0 3

3.2.

Ej.2

Este caso es similar al anterior respecto a las reacciones en los v´ ınculos.

4

ρ (x) =

H x−H B B2H 6

MR = − AR = −

BH 2 Problema Planteado: Calcule el esfuerzo cortante y momento flector en x=L utilizando el tramo derecho (de L a B).

3.3.

Ej.3

En este caso tomaremos el origen de referencias en el extremo izquierdo de la...