Vivraciones

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES

TEMA 3 – SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD

Sistemas de 1 Grado de Libertad
3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

- 3.1 -

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TEMA 3 – SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD

3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES- 3.2 -

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TEMA 3 – SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD

3.1

Introducción

Se estudian aquí las vibraciones de sistemas con un grado de libertad, al tiempo que se introducen algunos conceptos importantes a los que se hará referencia posteriormente. Los sistemas con un grado de libertad (1 gdl) tienen una excepcionalimportancia en la Teoría de las Vibraciones porque: Son los sistemas más sencillos, lo que hace pedagógicamente necesario comenzar por su estudio. Muchos problemas prácticos pueden ser suficientemente aproximados por sistemas con 1 gdl (Fig. 6). Muchas de las propiedades de estos sistemas se presentan también en sistemas con más grados de libertad. Mediante la técnica del "análisis modal" los sistemaslineales con n gdl pueden resolverse superponiendo n sistemas con 1 gdl.

Figura 6.a – Farola modelizada como un sistema de 1 gdl

Figura 6.b – Suspensión de una motocicleta modelizada como un sistema de 1 gdl
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TEMA 3 – SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD3.2

Componentes del sistema discreto básico de 1 gdl

Se conoce como sistema discreto básico de un grado de libertad al sistema de parámetros concentrados que puede observarse en la Figura 7. La energía cinética del sistema se almacena en la masa indeformable m, la energía potencial elástica en el resorte sin masa de constante k, y la capacidad de disipación de energía en el amortiguadorviscoso que se mueve con velocidad proporcional a la fuerza, con constante de proporcionalidad c. El sistema queda totalmente definido mediante la coordenada x (Figura 7). Para que el sistema sea lineal los parámetros k, m, y c deben ser constantes y no depender de la variable x. Las fuerzas presentes sin la acción de una acción exterior son las de la Figura 8.

Figura 7 – Sistema discreto básico de 1gdl

Figura 8 – Fuerzas actuantes

Si se aplica una fuerza f(t) sobre la masa m, en la dirección positiva de x, la ecuación del movimiento del sistema discreto básico, común a todos los sistemas lineales con 1 gdl, puede establecerse aplicando D’Alembert, introduciendo la fuerza de inercia, y estableciendo el equilibrio de fuerzas en la dirección x:
 m(t ) + cx(t ) + kx = f (t ) x

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3.3

Vibraciones libres en sistemas de 1 gdl

Todos los sistemas lineales con 1gdl conducen a la ecuación diferencial ordinaria de orden  x 2 vista en el apartado anterior: m(t ) + cx(t ) + kx(t ) = f (t )Cuando se trata de un caso de vibraciones libres, en las que no existen acciones exteriores sobre el sistema, f(t) = 0, y sí unas condiciones iniciales distintas de la trivial   nula, x 0 = x(t 0 ), x 0 = x(t 0 ) , se buscan soluciones en la forma: x(t) = Cest Derivando y sustituyendo en la ecuación diferencial resulta: C(ms2 + cs + k) est = 0 La expresión x(t) = Cest representará una soluciónpara todos aquellos valores de s que satisfagan la ecuación anterior. Estos valores son las raíces de la ecuación característica ms2 + cs + k = 0:
s=− c ± 2m

(c 2m) − k m
2

VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
2 Como k/m es una constante positiva, podemos hacer ω = k m y en la ecuación característica resultan para s los valores:

s = ± − ω2 = ± ωi

En tal caso, la solución general de la...