Volumen de un solido de revolución




UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO DE MONAGAS
UNIDAD DE CURSOS BASICOS
DEPARTAMENTO SOCIO-HUMANISTICOS
SECCION MATEMATICA









Profesora: Bachiller:
Adriana Finol. LizmarPérez.
C.I. 26.533.074



Maturín, Julio del 2015.
Volumen de un sólido de revolución
Volumen es la cantidad que contiene un envase. Volumen implica trabajar en tres dimensiones. Por ejemplo a un plano se le puede calcular el área pero no elvolumen puesto que solo tiene dos dimensiones.
Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Al sólido resultante se la llama sólido de revolución y a la recta que sirve de eje se recta se denomina eje de revolución.
Sea f una función continua y positiva en elintervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen se determina.
1. Volumen simple

CÁLCULO DEL VOLUMEN EN SÓLIDOS EN REVOLUCIÓN MÉTODO DEL DISCO
Este método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un transversal de los discos será el área de un circulo , y el ancho será un . Es importantesaber el eje de rotacion, ya que dependiendo de esto se encuentra o despeja la ecuación en función de la variable específicamente

Para hallar el volumen de un sólido de revolución dividimos el sólido en rectángulos cuyo eje de revolución es el eje de x. La revolución de un rectángulo da lugar a un disco, por lo tanto este método divide al sólido en discos de ancho el ancho de cada rectángulo.Calculamos el área de cada disco (región plana circular) con la fórmula de área de un círculo. Para calcular el volumen multiplicamos el área de la región circular por el ancho del rectángulo () que lo forma.
En esquema el método de los discos es como sigue:

Formula conocida Nueva fórmula de integración
Volumen del discoElemento representativo Solido de revolución

Como hallar volúmenes por el método del disco
1. Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que sea perpendicular al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso.
2. Hallar: para el caso del discoel radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo.
3. Establecer los límites de integración.
4. Por último integrar para hallar el volumen deseado.

2. Volumen compuesto

CÁLCULO DEL VOLUMEN EN SÓLIDOS EN REVOLUCIÓN MÉTODO DE ARANDELAS

Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como semuestra en la siguiente figura:








Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son PERPENDICULARES AL EJE DE ROTACIÓN son arandelas en lugar de discos. (Es por esto el nombre del método). Lo anterior lo podemos apreciar la figura de abajo.






Ahora hallemos lasdimensiones de la arandela (Radio
exterior R y radio interior r) usando la figura anterior. El radio exterior (radio más grande) lo determina la función f y el radio interior (radio más pequeño) lo determina la función g. Como en la sección anterior (método del disco) hallamos el área de la arandela así:







Área de la arandela:

En la figura anterior, tenemos:
R= f (x) y r = g (x)...