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GRUMAI - GRUPO DE MATEMÁTICAS APLICADAS E INGENIERÍA

Métodos Numéricos
Básicos para Ingeniería
Con implementaciones en MATLAB y Excel
Carlos Armando De Castro Payares

Notas sobre los métodos numéricos básicos más útiles para la Ingeniería, sin mucha
profundización matemática y con aplicaciones prácticas y ejemplos de implementaciones
en MATLAB y Excel.

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Métodos Numéricos Básicos para Ingeniería

CODIGO LEGAL

Atribución No Comercial 3.0 (Colombia)

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CONTENIDOS

1. INTERPOLACIÓN
1.1. Polinomios de Lagrange
1.2. Interpolación lineal
2. APROXIMACIÓN
2.1. Mínimos cuadrados2.2. Transformada rápida de Fourier
3. RAÍCES DE ECUACIONES
3.1. Método de punto fijo
3.2. Método de Newton-Raphson
3.3. Método de la secante
4. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
4.1. Método de Newton-Raphson multidimensional
5. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
5.1. Diferencias finitas
6. INTEGRACIÓN NUMÉRICA
6.1. Método de los trapecios
7. ECUACIONES DIFERENCIALES CON VALOR INICIAL
7.1. Métodode Euler
7.2. Método de Runge-Kutta de cuarto orden

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PRÓLOGO

En el presente escrito se muestran los métodos numéricos más sencillos y útiles de
implementar en problemas comunes de ingeniería. En los temas presentados no se
hacen deducciones matemáticascomplejas o profundas ni discusiones largas sobre
los métodos sino que se muestra el método con alguna sencilla forma de ver el por
qué funciona, se presenta el algoritmo en lenguaje MATLAB o en pseudocódigo, y
luego se procede a ilustrar con ejemplos, algunos tomados de problemas de
ingeniería, implementados en MATLAB o Excel.
Los métodos numéricos mostrados han sido utilizados por elautor en algún
momento en el desarrollo de sus estudios en Ingeniería Mecánica, trabajo como
consultor y proyectos personales.
La mayoría de los ejemplos hechos con Excel se anexan en el archivo
Metodos_Numericos_Basicos_para_Ingenieria.xls, descargable de la página web del
libro.

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1. INTERPOLACIÓN

En la práctica de la ingeniería se utilizan mucho las tablas de datos, como en el caso
de las tablas de vapor saturado en la termodinámica. En la mayoría de los casos el
dato necesario no se encuentra explícito en la tabla sino entre dos valores de ésta,
para lo cual es necesario estimarlo de entre los valores que presenta la tabla en un
procesoconocido como interpolación.
La idea básica de la interpolación es hallar un polinomio o función que cumpla con
pasar por todos los puntos de un conjunto de datos
,y
poder estimar los valores entre ellos por medio del polinomio.

1.1.

POLINOMIOS DE LAGRANGE

Para ilustrar la interpolación por polinomios de Lagrange considérese un conjunto
de datos de tres puntos
. El polinomiointerpolador en este
caso es

Obsérvese que en el punto
sólo queda el primer término con su numerador
y denominador cancelándose entre sí, por lo cual
. Lo mismo sucede con
los demás puntos, por lo que se ve que el polinomio cumple con la condición de
pasar por todos los puntos de datos. En general, para n puntos de datos, el
polinomio de Lagrange es

Una forma mucho más sencilla de ver la ec.1.1 es en forma de un algoritmo, el cual
se muestra escrito para MATLAB en el algoritmo 1.1.

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Algoritmo 1.1: Polinomios de Lagrange en MATLAB
Entradas: valor a interpolar x, vectores conteniendo los puntos X y Y.
Salidas: valor interpolado y.
function...