William Rowan Hamilton







“Aportes de William Rowan Hamilton a los escalares y vectores a partir del cuaternion”





Preparado por:




Cali






Introducción
La siguiente relatoría tendrá como tema principal, los aportes que realizó el señor William Rowan Hamilton a los escalares y vectores, dando a conocer el proceso de análisis que llevo a cabo para llegar a tan preciados aportes comola teoría de los cuaternios o cuaterniones entre otros.


“Aportes de William Rowan Hamilton a los escalares y vectores a partir del cuaternión” Relatoría realizada por Sebastián Andrés Tamayo Romero

1. Primero momento: “Sobre la temática del texto”

¿Cuál es la tesis propuesta por el autor?
Uno de los aportes que el señor Hamilton realizo a la algebra, a los escalares y vectores fue elde introducir el numero complejo como un algebra formal de pares de números reales con operaciones suma y producto definidas como en la actualidad. De la siguiente forma:
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
λ (a,b) = (λa, λb)
(a,b) (c,d) = (ac − bd, ad + bc)

La teoría de los cuaternios (Tambien aportada por Hamilton) dio lugar al producto escalar y vectorial. Los llamados cuaternios son unconjunto de números de la siguiente forma:
Q = a + bi + cj + dk
Donde a, b, c y d pertenecen al conjunto de los reales y los hipercomplejos cumpliendo que:

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1



¿Cómo se desarrolla el esquema argumentativo?

Hamilton tras preguntarse si era posible hacer lo que hizo con los tripletes de número, con los dobletes o pares de número pertenecientes a los reales, planteo oimagino los siguientes tripletes:
a + bi + cj

Hamilton planteo estos numero de ternas, como un conjunto el cual tenía como base (1, i, j) y estos eran perpendiculares entre sí.
Después de tratar de multiplicar los productos de ternas, se le presentaba el siguiente inconveniente:
(a + bi + cj) (A + Bj + Cj)
Debido a que el producto debía estar en el mismo espacio y realizarse termino portermino, se debía cumplir que el modulo del producto fuera el producto de los módulos para que se pudiera visualizar completamente el espacio tridimensional. Hamilton también quería que i, j fueran unidades imaginarias diferentes, por ende planteo que i^2 = j^2 = -1. Suponiendo la condición ij = ji, al calcular el producto obtenía:
(a + bi + cj) (A + Bj + Cj) = (aA – bB – cC) + (aB + bA)i +(aC+cA)j + (bC + cB)ij
Hamilton al notar que surgen 4 sumandos diferentes se pregunto ¿Cuánto tiene que valer ij para que el producto resultante se dé, de la forma de tripletes (T=p+qi+rj) para que pertenezca a R3. Desde ese momento, Hamilton comenzó a practicar el método de prueba y error hasta que le dio el valor a ij=0. Incluso en este caso no se cumplía la ley de los módulos, pero se dio cuentaque al anular dicho término y al hacer iguales los productos de dos términos, se podía llegar al resultado:
(a + bi + cj) (A + bj + cj) = (aA – b^2 – c^2) + (a + A)bi + (a + A)cj
Observando lo anterior podemos darnos cuenta que se cumple la ley de los módulos. Por consiguiente, Hamilton se di cuenta que para anular el factor con ij solo se debía plantear que ij = -ij. Tras preguntarse ¿cuál debíaser el nuevo valor concreto que asignar a ij mas allá de esta propiedad? Llamo finalmente “k” al nuevo valor que según él, debía determinar específicamente.
Después de esto, Hamilton realizo nuevamente el producto de las ternas, pero esta vez con la especificación de que ij = -ji = k = 0 y nuevamente se observaba que se cumplía la ley de los módulos haciendo la diferencia entre los cuadrados delos módulos de los factores, menos el cuadrado del modulo del producto.
Fue aquí donde Hamilton dejo de imponerse la restricción tridimensional y añadió la cuarta coordenada a sus números hipercomplejos. Finalmente supuso que k era la nueva unidad imaginaria y de aquí nacieron los nombres “cuaternios”, “cuádruplas” o ”cuaterniones” y nacieron las expresiones de la forma:
a + bi + cj + dk...