Yo hablo de ciencias

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Cajón de Ciencias

Teoremas del seno y el coseno: ejercicios resueltos
1) En los siguientes triángulos, halla los lados y ángulos restantes: a)
22º

b)

c)

d)

92º 12 79º 8 15 6 70º 5 25

110º 28

2) Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que el globo se encuentra a unadistancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B. 3) Los flancos de un triángulo forman un ángulo de 80º con la base. Si el triángulo tiene 30 centímetros de base, calcula la longitud de sus lados. 4) Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en laesquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo. 5) Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en otro y 60º en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla.

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Soluciones 1) a)
22º

Cuando tengamos que resolver un triángulo no rectángulo delcual conozcamos una pareja ángulo-lado opuesto y un dato de algún otro lado o ángulo, aplicaremos el teorema del seno. Recuerda que es el que establece la siguiente relación:
79º

8

a/senA = b/senB = c/senC

Siendo a y A, b y B, c y C las parejas de ángulo y lado opuesto. Utilizamos en este caso los 22º y el lado de 8 como referencia y calculamos el lado opuesto a los 79º: 8/sen22 = b/sen798/0,37 = b/0,98 b = 21,62·0,98 b = 21,22 Para hallar el resto podría parecer que nos falta el dato del tercer ángulo. Pero recuerda que los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180º. Por lo tanto, ese tercer ángulo debe valer C = 180 – 22 – 79 = 79º Así que es un triángulo isósceles. No hace falta hacer más cálculos: si tiene dos ángulos iguales, también tiene dos lados iguales, y el lado quenos falta también mide 21,22. b)
92º 12

Otro caso de teorema del seno, pues tenemos una pareja ángulo/lado opuesto completa, y algún otro dato suelto. Empezamos calculando el ángulo que está frente al lado que mide 12: 15/sen92 = 12/senB 15/0,99 = 12/senB senB = 12/15,15 B = 52,37º

15

El tercer ángulo mide 37,63º (180 menos la suma de los otros dos). Con este dato calculamos el tercerlado: 15/sen92 = c/sen37,63 15,15 = c/0,61 c = 9,25 (También podríamos haber usado la otra pareja b/senB; comprueba que da lo mismo).

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c)
6

Ahora no nos vale el teorema del seno, porque no tenemos una pareja de ángulo/lado opuesto. Para estos casos, en los que conocemos dos lados y el ángulo del vértice que forman, usamos el teorema del coseno:5

70º

a2 = b2 + c2 - 2bc·cosA

Siendo a el lado que nos falta. Si te fijas, la fórmula se parece un montón al teorema de Pitágoras, sólo que con un añadido; esta “actualización” es la que nos permite usarla en triángulos no rectángulos. La fórmula del teorema del coseno también debería recordarte a otra cosa. Intenta pensar cuál antes de mirar la nota al pie de página1. a2 = 52 + 62 –2·5·6·cos70 a2 = 61 – 60·0,34 a2 = 40,48 a = 6,36 Conociendo el lado opuesto, ya podemos usar el teorema del seno para hallar alguno de los ángulos que aún no tenemos: 6,36/sen70 = 5/senB 6,36/0,94 = 5/senB senB = 5/6,39 B = 51,54º Y por lo tanto, C vale C = 180 – 51,54 – 70 = 58,46º d)
25 110º 28

De nuevo usamos el terorema del coseno. Se resuelve igual que el caso anterior. a2 = 252 + 282 –2·25·28·cos110 a2 = 625 + 784 – 1400·(-0,34) a2 = 1885 a = 43,42

Y luego el teorema del seno: 43,42/sen110 = 25/senB senB = 25/46,21 = 0,54 B = 32,76º C = 180 – 110 – 32,76 = 37,24º
1

“El primero al cuadrado más el segundo al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo” ¿O no se parece al cuadrado de una resta?

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2) Desde lo alto de un...
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