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Introducción:

Uno de los descubrimientos más importantes en la historia de la matemática aplicada lo hizo Jean Baptiste Fourier (1768-1830), quien demostró que casi toda función periódica se puede representar mediante una sumatoria de funciones seno y coseno. Estas sumatorias se conocen como las series de Fourier.

En este trabajo se presenta el tema de series de Fourier con función deperiodo arbitrario.

FUNCIONES DE CUALQUIER PERIDO P=2L.
Las funciones consideradas hasta este punto tenían periodo 2π, en tanto que la mayoría de las funciones periódicas en las aplicaciones tendrán otros periodos. Pero se demuestra que la transición de funciones de periodo p=2π a funciones de periodo p=2L, es bastante simple, en esencia un alargamiento de escala sobre el eje.
Si una funciónf(x) de periodo p=2L tiene una serie de Fourier, se afirma que esta serie es:
(1)

fx=a0+n=1∞ancosnπxL+bnsinnπxL

Con los coeficientes de Fourier de f(x) dados por las formulas de Euler

(b)
(a)
a0= 12LLLfxdx
(2)
an = 1L-LLfxcosnπxLdx
(c)
bn= 1L-LLfxsennπxLdx

Demostración. La idea es deducir estas expresiones mediante un cambio de escala. Se hace v= πx/L, de donde x=Lv/π. Entoncesx= ± L corresponde a v= ±π. Por tanto f, considerada como una función de v a la que se llama g (v),
fx=g(x)
Tiene periodo 2π. Con v en lugar de x, esta función periódica g (v) con periodo 2π tiene la serie de Fourier.

(3)
gv=a0+n+1∞(ancosnv+bn sen nv)

Con coeficientes:

(4)
a0= 12π-ππgvdv
an= 1π-ππgvcosnvdv
bn= 1π-ππgvsen nv dv

Puesto que v= πx/L y g(v) = f(x), la formula (3)da como resultado (1). En (4) se introduce x= Lv/π como variable de integración. Entonces los limites de integración v= ±π pasan a ser x=±L. Asimismo, v=πx/L implica dv=πdx/L. Por tanto, dv/2π=dx/2L en a0. De manera similar, dv/π= dx/L en an y bn. En consecuencia, de (4) se obtiene (2).
El intervalo de integración en (2) puede remplazarse por cualquier intervalo de longitud p=2L, por ejemplo,por el intervalo 0 ≤ x ≤ 2L.

Ejemplo 1 : Determine los coficientes de Fourier correspondientes a la Funcion.
-1 -1 < x < 0

1 0 < x < 1
f(x)




Realizar la Grafica de la función f(x)


1
-1
1
-1

-1
1
f(x)
x

Periodo = 2L=2 despejando 2L=2 L=1
Como primer paso sacaremos el coeficiente a0 deacuerdo a los valores que nos muestra f(x).


Sustituir dentro de la formula de a0, recordando que sean 2 integrales porque nos indica que f(x) tiene 2 valores (-1 y 1).
1
0

0
-1
a0 = 12L f(x) dx + f(x) dx



0
Nota: como se menciono anteriormente L = 1 así que L tendrá valor de 1.

0
Integramos

1
-1
a0 = 12(1) -1 dx+ 1 dx
1
0
a0 = 12 - x + x
Nota: Recordemos cómo se Evalúa; Limite Superior – Limite Inferior

0
-1


Evaluamos los límites
a0 = 12 - 0- (-(-1)) + 1 - 0

a0 = - 12 -1 + 1 = 0

a0 = 0
Obtener an de acuerdo a lo que nos dice la formula de los coeficientes de Fourier en an.

1/L = 1/1
∫0
Sustituimos f(x)e integramos. L = 1
0
1

-1
0
an = 11 -cos nπx dx + cos nπx dx
1
0

= -sen nπx + sen nπx
0
-1
nπ nπ
Evaluando los límites
= -sen nπ(0) - (- sen nπ(-1)) + sen nπ(1) - sen nπ(0)
0
nπ nπ nπ nπ
0
0
multiplicando signos:
=-sen nπ(0) + sen nπ(-1) + sen nπ(1) - sen nπ(0)
nπ nπ nπ nπ
multiplicar el ángulo por la función
= sen nπ(-1) + sen nπ(1)
nπ nπ
0

= -sen nπ + sen nπ = 0
nπ nπ...
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