Zamorano

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptosprincipales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.
Funciones reales de una variable real

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no estároto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.
El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sóloes igual si la función en cuestión es suprayectiva.)
El mayor elemento de J' se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

Continuidad de una función en un punto

Definición de continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función
si: tal que para toda x en el dominio de la función:

Otra maneramás simple:
Si xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en xo
si y sólo si . Cuando xo no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.
En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha,si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f(x1).
Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:
* Existe f(x1):

* existe el límite por la izquierda:

* existe el límite por la derecha:

* El límite por la derecha, el límite por la izquierda y el valor de la función coinciden:

Es decir: ellímite de la tasa de variación es cero cuando el incremento de la variable independiente, h, tiende a cero:

Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que .
Si f ejecuta unsalto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salende J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Continuidad lateral

Una función f es continua por la izquierda en el punto x = x1 si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

como en la figura.
Una función f es continua por la derecha en el punto x = x1 si su límite lateral por la derecha y elvalor de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

Continuidad de una función en un intervalo {a;b}
Una función, f es continua en un intervalo I, si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:
f es continua en un intervalo I ⇔
Dado que una...