DISTRIBUCION UNIFORME

DISTRIBUCION UNIFORME

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución uniforme continua es una familia de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, tales que cada miembro de la familia, todos los intervalos de igual longitud en la distribución en su rango son igualmente probables. El dominio está definido por dos parámetros, a y b, que son sus valores mínimoy máximo. La distribución es a menudo escrita en forma abreviada como U(a,b).
Función de densidad de probabilidad
La función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua es:


Los valores en los dos extremos a y b no son por lo general importantes porque no afectan el valor de las integrales de f(x) dx sobre el intervalo, ni de x f(x) dx o expresiones similares. A vecesse elige que sean cero, y a veces se los elige con el valor 1/(b − a). Este último resulta apropiado en el contexto de estimación por el método de máxima verosimilitud. En el contexto del análisis de Fourier, se puede elegir que el valor de f(a) ó f(b) sean 1/(2(b − a)), para que entonces la transformada inversa de muchas transformadas integrales de esta función uniforme resulten en la funcióninicial, de otra forma la función que se obtiene sería igual "en casi todo punto", o sea excepto en un conjunto de puntos con medida nula. También, de esta forma resulta consistente con la función signo que no posee dicha ambigüedad.
Función de distribución de probabilidad
La función de distribución de probabilidad es:


Funciones generadoras asociadas
Función generadora de momentos
Lafunción generadora de momentos es

a partir de la cual se pueden calcular los momentos m k





Para una variable aleatoria que satisface esta distribución, la esperanza matemática es entonces m1 = (a + b)/2 y la varianza es m2 − m12 = (b − a)2/12.
Función generadora de cumulantes
Para n ≥ 2, el n-ésimo cumulante de la distribución uniforme en el intervalo [0, 1] es bb/n, donde bn es eln-ésimo número de Bernoulli.
Propiedades
Generalización a conjuntos de Borel
Esta distribución puede ser generalizada a conjuntos de intervalos más complicados. Si S es un conjunto de Borel de medida finita positiva, la distribución probabilidad uniforme en S se puede especificar definiendo que la pdf sea nula fuera de S e igual a 1/K dentro de S, donde K es la medida de Lebesgue de S.Estadísticas de orden
Sea X1,..., Xn una muestra i.i.d. de U(0,1). Sea X(k) el orden estadístico k-ésimo de esta muestra. Entonces la distribución de probabilidad de X(k) es una distribución Beta con parámetros k y n − k + 1. La esperanza matemática es

Esto es útil cuando se realizan Q-Q plots.
Las varianzas son

'Uniformidad'
La probabilidad de que una variable aleatoria uniformemente distribuidase encuentre dentro de algún intervalo de longitud finita es independiente de la ubicación del intervalo (aunque sí depende del tamaño del intervalo), siempre que el intervalo esté contenido en el dominio de la distribución.
Es posible verificar esto, por ejemplo si X ≈ U(0,b) y [x, x+d] es un subintervalo de [0,b] con d fijo y d > 0, entonces

lo cual es independiente de x. Este hecho es el quele da su nombre a la distribución.


Parámetros

Dominio

Función de densidad (pdf)




Función de distribución (cdf)


Media


Mediana


Moda
cualquier valor en

Varianza


Coeficiente de simetría


Curtosis


Entropía


Función generadora de momentos (mgf)


Función característica


Uniforme estándar
Si se restringe a = 0 y b = 1, a la distribuciónresultante U(0,1) se la llama distribución uniforme estándar.
Una propiedad interesante de la distribución uniforme estándar es que si u1 es una distribución uniforme estándar, entonces 1-u1 también lo es.
Distribuciones relajadas
Si X tiene una distribución uniforme estándar, entonces:
Y = -ln(X)/λ tiene una distribución exponencial con parámetro λ.
Y = 1 - X1/n tiene una distribución...