L'Hôpital

Formas indeterminadas
Como sabes que las formas de y se llaman indeterminadas, porque no garantiza que exista el limite ni. En caso de que exista, determinar cuál es su valor. Cuando nos hemos encontrado con ellas hemos intentado reescribir la expresión recurriendo a técnicas algebraicas.
Forma indeterminada.

Limite.

Técnicas algebraicas.



=
Dividir el numerador y eldenominador entre


=
Dividir el numerador po

Ocasionalmente, se puede extender estas manipulaciones algebraicas al cálculo de límites de funciones trascendentales. Así, el límite

Produce la forma indeterminada , pero factorizando y efectuando la división vemos que:

Sin embargo, no todas las formas indeterminadas se resuelven por manipulaciones algebraicas. Esto es especialmente ciertocuando aparecen mezcladas funciones algebraicas y funciones trascendentales. Por ejemplo, el límite

Ahora en esta ocasión la interminación es ∞ - ∞ naturalmente como se puede ver en la grafica parece adivinar el valor del límite.


A primera vista pareciera que el límite es veamos los valores de la tabla

-1
-0.1
-0.01
-0..001
0
0.001
0.01
0.1
1

0.865
1.813
1.980
1.998
?2.002
2.020
2.214
6.389

LA REGLA DE L’HÔPITAL
Para calcular el límite anterior es útil un teorema conocido como la regla de L’Hôpital. Establece que, bajo ciertas condiciones, el límite del cociente de dos funciones coincide con el límite del cociente de sus derivadas.

Su demostración utiliza el resultado conocido como teorema general del valor medio-
Teorema general del valor medio:
Sif y g son derivables en el intervalo abierto (a,b) y continuas en [a,b], y si además g’(x) ≠ 0 para todo x en (a,b), existe algún punto c en (a,b) tal que


La regla de L’hôpital
Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto (a,b) que contienen a c, excepto posiblemente en el propio c. supongamos que g’(x) ≠ 0 para todo x en (a, b) excepto posiblemente en el propio c, si el límitede f(x)/g(x) cuando x tiende a c produce la forma indeterminada 0/0, entonces

Supuesto que el límite de la derecha existe o es infinito. Este resultado es válido también si el límite de f(x)/g(x) produce cualquiera de las formas indeterminadas ∞/∞, (-∞/∞), ∞/(-∞), o (-∞)/(-∞).
Nota: Un error muy frecuente al calcular un límite mediante la regla de L’Hôpital consiste en aplicar la regla delcociente a f(x)/g(x). Recuerde que siempre la regla de L’Hôpital utiliza el cociente f´(x)/g’(x) de las derivadas, no la derivada del cociente f(x)/g(x)



La regla de L’Hôpital puede aplicarse también a límites laterales. Por ejemplo, si el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende a c por la derecha produce la forma indeterminada 0/0, entonces

Supuesto que este último límite existe (o esinfinito).
Ejemplo:

















Forma indeterminada
Evaluar


Solución: la sustitución directa lleva a una forma indeterminada 0/0












Así podemos aplicar la regla de L’ôpital
Aplicar la regla de L’ôpital
Derivar numerador y denominador
= 2 evaluar limite
Nota: al escribir la cadena de igualdades del ejemplo anterior, no sabemos realmente que elprimer limite es igual al segundo mientras no sepamos que este segundo existe. En otras palabras, si el segundo limite no hubiera sido legitima la aplicación de la regla de L’Hôpital.


Otra formulación de la regla de L’Hôpital establece que si el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende a ∞ (o a -∞) produce una dorma indeterminada 0/0 o ∞/∞, entonces:

Supuesto que el límite de la derecha existe.Calcular
Solución: Por sustitución directa llegamos a una forma indeterminada ∞/∞, así que aplicamos la regla de L’Hôpital.
Aplicar la regla de L’Hôpital
derivar numerador y denominador por separado
=0 evaluar limite
En ocasiones es necesario aplicar varias veces seguidas la regla de L’ôpital para eliminar la indeterminación como en el ejemplo siguiente.
Aplicación repetida de la...