regla de l'hopital

REGLA DE L’HOPITAL
Cuando se resolvían límites se habló de las formas
indeterminadas al calcular sus valores. Éstas pueden ser las
siguientes:

0 ∞
, , 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 00 , ∞ 0 ,1∞
0 ∞

Eneste tema se tratará el cómo quitar la indeterminación en
estos casos y lograr encontrar el valor del límite ya sea si existe
o no. Primero se verá un teorema del célebre matemático
francésAugustin Cauchy.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY
Sean f y g continuas en un intervalo cerrado
diferenciables

g '( x ) ≠ 0

en

el

intervalo

∀ x ∈ ( a, b ) .

Entonces existe un númeroabierto

( a, b ) ,

⎡⎣ a, b⎤⎦ y
y

sea

c ∈ ( a, b ) tal que:

f ( b ) − f ( a)

g ( b ) − g ( a)

=

f ' ( c)

g ' ( c)

TEOREMA. REGLA DE L’HOPITAL
Supónganse las funciones fy g diferenciables en cada
punto de un intervalo abierto ( a, b ) que contiene al valor " c "
excepto posiblemente en este valor; y sea g ' ( x ) ≠ 0 para
toda x ≠ c en el intervalo. Seatambién L que denota tanto un
f ( x)
valor real o bien +∞ o −∞ , y supóngase que
es una
g( x)
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

forma indeterminada en

entonces

lim
x →c

f ( x)

g( x)

" c " .Luego, si lim
x →c

f '( x )

g '( x )

2

= L,

= L.

De acuerdo con este teorema, el límite del cociente de dos
funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas. Y si
en ellímite de este cociente se vuelve a presentar una

0 ∞
o
, se repite nuevamente la
indeterminación de las formas
0 ∞

Regla de L’Hopital hasta que el resultado esté determinado o no
existael límite.
Prueba. Sea

del tipo

f (x )

g (x )

una forma indeterminada en el valor de

" c"

f '( x )
0
y supóngase que lim
= L , donde " L " es un
x
→
c
g '( x )
0

valorreal. Lo que se desea probar es que
Primero se presentarán las funciones
forma:

⎧⎪ f ( x )
( x) = ⎨
⎪⎩0

si

x≠c

si

x=c

;

F

y

lim
x →c

f ( x)

g( x)

= L.

si...