L Gica Y Conjuntos

´Indice general

Cap´ıtulo 1. L´
ogica y Conjuntos
1.1. L´
ogica
1.1.1.
Proposiciones
1.1.2.
Conectivos l´
ogicos
1.1.3.
Tautolog´ıas
1.1.4.
Funci´
on proposicional y cuantificadores
1.2. Teor´ıa de Conjuntos
1.2.1.
Conjuntos, inclusi´
on y pertenencia
1.2.2.
Operaciones entre conjuntos
1.2.3.
Cuantificando sobre conjuntos
1.2.4.
Producto de conjuntos

1
1
1
1
5
9
12
12
14
20
21

Bibliograf´ıa23

1

´
MODULO

1

L´
ogica y Conjuntos

PARTE 1.1

L´
ogica

Definici´
on 1.1 (Proposiciones). En un intento por sistematizar el razonamiento matem´atico nace
lo que llamaremos l´
ogica. En l´
ogica se trabaja con frases o expresiones con “valor de verdad”que son
las llamadas proposiciones, estas pueden ser Falsas o Verdaderas, y normalmente las denotaremos
por las letras p, q, r.... Tambi´enveremos que es posible “conectar”proposiciones para construir otras
nuevas, a estas les llamaremos proposiciones compuestas.

Ejemplo:
p:“ La pizarra es negra”.
q:“ Este es el curso Matem´
aticas III”.
r∶ 3≥1
s :“Es temprano”.
t: “Tengo sue˜
no”.
u :“Est´
a nublado”.
v :“Est´
a lloviendo”.
1.1.1.

Proposiciones

Definici´
on 1.2. Negaci´
on: Dada una proposici´on p es natural definir laproposici´on opuesta, es
decir su negaci´
on, por ejemplo para la proposici´on “Est´a lloviendo”, su negaci´on ser´a “No est´a lloviendo”, de manera que si una proposici´on es verdadera, entonces su negaci´on tendr´a valor de
1

1.1 L´
ogica

L´ogica y Conjuntos

verdad falso, de esta misma manera, si la proposici´on es falsa, entonces su negaci´on ser´a verdadera. La negaci´
on de la proposici´
on p ladenotaremos como ∼ p 1 y se lee como “no p”.

1.1.2.

Conectivos l´
ogicos

Tablas de verdad
Utilizaremos las tablas de verdad para representar los valores de verdad que tomar´a una proposici´
on
compuesta, en funci´
on de todos los posibles valores de verdad que pueden tomar las proposiciones en
juego, por ejemplo:
Tabla de verdad de la negaci´on
p

∼p

V

F

F

V

Notemos que a medida que lacantidad de proposiciones en juego aumenta, el tama˜
no de la tabla de
verdad es tan grande como 2n , donde n es el n´
umero de proposiciones.
Una variable proposicional (p)
p
V
F
Dos variables proposicionales (p, q)
p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

Tres variables proposicionales (p, q, r)

2

L´
ogica y Conjuntos

1.1 L´ogica

p

q

r

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

FF

Definici´
on 1.3. Y l´
ogico o de conjunci´
on:Dada dos proposiciones p y q, podemos construir
la proposici´
on p ∧ q que se lee “p y q”, esta proposici´on ser´a verdadera siempre y cuando ambas
proposiciones son verdaderas de manera simult´anea, por ejemplo, a partir de las proposiciones
“Est´
a lloviendo” y “Tengo hambre”, podemos formar la proposici´on “Est´a lloviendo y tengo hambre” queser´
a verdadera, siempre y cuando ambas proposiciones sean verdaderas.
Tabla de verdad
p

q

p∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Definici´
on 1.4. O l´
ogico o disyunci´
on:Dada dos proposiciones p y q, podemos construir la
proposici´
on p ∨ q que se lee “p o q”, esta proposici´on ser´a verdadera solo si al menos una de
las proposiciones, ya sea p o q o ambas son verdaderas, por ejemplo, apartir de las proposiciones “Est´
a lloviendo” y “Tengo hambre”, podemos formar la proposici´on “Est´a lloviendo o tengo
hambre”, para que esta proposici´
on sea verdadera basta que al menos una de las dos, ya sea
“Est´
a lloviendo” o “Tengo hambre” sea verdadera.
Tabla de verdad
p

q

p∨q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F
3

1.1 L´
ogica

L´ogica y Conjuntos

Definici´
on 1.5. Implicaci´
on:Dadados proposiciones p y q, podemos construir la proposici´on
p ⇒ q y se lee “p implica q” tambi´en se lee como “si p, entonces q”, que trata de representar
que cada vez que p es verdadera, q obligatoriamente debe ser verdadera tambi´en, para estudiar su
valor de verdad, notaremos que la u
´nica forma en que se puede asegurar que la proposici´on es falsa
es cuando p es verdadera y q es falsa, por...