T. ecuaciones de segundo grado

UNIDAD 10: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

10.1

Estudio elemental de la ecuación de segundo grado. Expresión
general.
10.2 Resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.
10.3 Planteamiento y resolución de problemas con ecuaciones de segundo
grado. Comprobación del resultado.

10.1. ESTUDIO ELEMENTAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. EXPRESIÓN
GENERAL.
Hasta ahorahemos planteado y resuelto ecuaciones en las que la incógnita x estaba
elevada al grado 1. Lógicamente cabe pensar que se pueden plantear ecuaciones en
las que la incógnita x aparezca elevada a 2 como grado máximo. Esto no significa que
sólo debe aparecer el término x2 sino que, de todos los términos que existen en la
ecuación, el de mayor exponente de la incógnita es el término en x2.
Unaecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica
donde el mayor exponente de la incógnita x es igual a dos. Normalmente, la expresión
se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y la forma más común en la que
se expresa es:

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0
(pues si fuera cero, la ecuación no sería de segundogrado), b es el coeficiente lineal o
de primer grado y c es el término independiente.
Ejemplos: x2 – 9 = 0 ;
x2 – 9 = 3x + 1

x2 – x – 12 = 0

;

x · (x + 1) = 56

2x2 – 3x – 4 = 0
(x + 2)2 = 81

Recuerda que cuando delante de la x no aparece ningún número multiplicando se
entiende que el coeficiente correspondiente es 1.
Es conveniente destacar que, en principio, una ecuación desegundo grado puede no
llevar en su forma inicial la x elevada al cuadrado, pero en el desarrollo previo a su
resolución aparece este término cuadrático. Observa las dos últimas ecuaciones que
se dan en los ejemplos anteriores.
Como norma general, veremos que para resolver ecuaciones de segundo grado, en
primer lugar desarrollaremos los términos que aparecen, quitando paréntesis,
agrupandotérminos semejantes y ordenándolos de forma conveniente hasta llegar a la
expresión general ax2 + bx + c= 0

Aunque en la expresión general los coeficientes a, b y c aparecen como positivos (por
simplificación), debemos tener presente que pueden tomar valores tanto positivos
como negativos.
EJEMPLO
Escribe la siguiente ecuación de segundo grado ordenada de acuerdo con la
expresión general ax2 +bx + c = 0
3x· (x + 4) = x2 – 5x + 3
En primer lugar quitamos los paréntesis:
3x2 + 12x = x2 – 5x + 3
A continuación pasamos todos los términos a un lado del igual para dejar el otro lado a cero.
3x2 – x2 + 12x + 5x – 3 = 0
Después agrupamos los términos semejantes y ya podemos identificar los coeficientes a, b
y c:
2x2 + 17x – 3 = 0

a=2

b = 17

c= – 3

Ya tenemos la ecuaciónordenada y lista para resolverla

EJEMPLO
Escribe la siguiente ecuación de segundo grado ordenada de acuerdo con la
expresión general ax2 + bx + c = 0
(x – 3)2 + 1 = 2x – 5
En primer lugar quitamos los paréntesis, desarrollando la diferencia al cuadrado:
x2 - 6x + 9 + 1 = 2x – 5
A continuación pasamos todos los términos a un lado del igual para dejar el otro lado a cero.
x2 – 6x – 2x + 9 +1 + 5 = 0
Después agrupamos los términos semejantes:
x2 – 8x + 15 = 0

a=1

b = –8

c= 15

Ya tenemos la ecuación ordenada y lista para resolverla

Las ecuaciones de segundo grado pueden ser
completas o incompletas dependiendo de que

falte o no algún término. Lógicamente, el término ax2 no puede faltar pues entonces no
sería una ecuación de segundo grado, aunque el término bx oel término c sí que pueden
faltar en una ecuación concreta. En el punto siguiente veremos la forma de resolver
ecuaciones de segundo grado mediante la expresión de la fórmula general y algunos
métodos particulares para ecuaciones incompletas. Realmente, una ecuación del tipo ax2
= 0 sólo puede tener una única solución y esa solución es x=0, independientemente del
valor que tenga el...