Álgebra De Boole

ÁLGEBRA DE BOOLE Y FUNCIONES LÓGICAS
1. Introducción El Álgebra de Boole es una parte de la matemática, la lógica y la electrónica que estudia las variables, operaciones y expresiones lógicas. Debe su nombre a George Boole, matemático británico quien la definió a mediados del siglo XIX. A mediados del siglo XX el trabajo de Boole es tomado por Claude Shannon para la descripción de circuitoseléctricos, más específicamente circuitos con relés. Esta álgebra trabaja con los dos valores provenientes de la lógica, verdadero y falso, estos son sustituidos usualmente por los símbolos existentes en un sistema binario, 1 y 0 respectivamente. 2. Proposición Lógica Es una frase u oración en la que se afirma o se niega algo, de modo que la idea que ella contiene será VERDADERA o será FALSA, nopudiendo ser de otra forma. Las frases a continuación son ejemplos de proposiciones lógicas. “Es ingeniero” “Es estudiante” “Está casado” “Tiene hijos” Para representar una proposición lógica se utiliza usualmente una letra o un símbolo, así podemos denominar “A” al valor de la afirmación “Es ingeniero”; “B” al valor de “Es estudiante” etc. 3. Funciones Booleanas básicas Las funciones básicas querelacionan los valores provenientes de las proposiciones lógicas son: “y” “o” y “no”, estas funciones son utilizadas como conectivos entre proposiciones lógicas. Si se toman las dos primeras proposiciones lógicas planteadas, A y B, se pueden crear nuevas proposiciones de una mayor complejidad. a. Función Y (AND) “Es ingeniero y estudiante” En esta frase se utiliza el conectivo “y”, la misma sólo seráverdadera, en el caso en que ambas proposiciones que la conforman sean verdaderas. La relación entre las tres frases se escribe de la siguiente forma: F  A B Donde F representa el valor de la afirmación “Es ingeniero y estudiante” y la operación existente entre las proposiciones A y B es ·.

b. Función O (OR) “Es ingeniero o estudiante” Esta afirmación utiliza el conectivo “o” y será verdaderasi alguna (o ambas) proposiciones son verdaderas. La relación entre las tres frases es la siguiente:
G  AB

Donde G representa el valor de la afirmación “Es ingeniero o estudiante”, la operación existente entre ambas proposiciones es “+”, la misma no debe confundirse con una suma aritmética. c. Función NO (NOT) “NO es estudiante” Esta frase será verdadera si la oración “Es estudiante” esfalsa. Es decir, ambas siempre tendrán valores opuestos o complementarios. La representación es la siguiente:

H  B o H  B'
Donde H representa el valor de la afirmación “Es estudiante”, el negar una afirmación (aplicar la función no) es representado a través de una línea en la parte superior o por una comilla del lado derecho. d. Representación Circuital Las funciones descritas anteriormentetienen equivalencia con el comportamiento de circuitos eléctricos. A continuación se muestra un breve esquema de las funciones lógicas y su equivalente circuital.

Función AND

Función OR

Función NOT

Habrá conexión eléctrica si está activado el interruptor A “Y” el interruptor B.

Habrá conexión eléctrica si está activado el interruptor A “O” el interruptor B.

Habrá conexión eléctricasi “NO” está activado el interruptor A.

4. Postulados y Propiedades del Álgebra de Boole Postulados: Son básicamente las definiciones de las funciones lógicas y sobre ellas se fundamenta el álgebra. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
00  0 0 1  0 1 0  0 11  1 000 0 1 1 1 0  1 111 0 1 1 0

Propiedades: 1) X 0  0 2) 0 X  0 3) X 1  X 4) 1  X  X 5) X 0 X 6) 0 X  X 7) X11 8) 1  X  1 9) X X  X 10) X  X  0 11) X  X  X 12) X  X  1 13) XX 14) XY  YX 15) X  Y  Y  X 16) X Y  Z   XY  XZ 17) X  YZ   X  Y  X  Z  18) X YZ    XY Z 19) X  Y  Z    X  Y   Z

AND

Basado en la función AND

OR

Basado en la función OR Basado en la función NOT

AND+NOT OR+NOT NOT Conmutativa Distributiva

Asociativa

5. Algunas...