0100Ma1005TODO Antiderivada

Matemáticas II
Ma1005

Antiderivada
Unidad I
Antiderivada
OBJETIVOS
Unidad
Tema
Subtema
Objetivos
1 Antiderivada
1.1 Conceptos
1.2 Integración por sustitución
1.3 Integración por partes
1.4 Aplicaciones
Entender y aplicar el concepto de antiderivada
Entender y resolver integrales por el método de sustitución
Entender y resolver integrales por el método de por partes
Resolver problemas por mediode integración

ngj/v2008

Unidad I Antiderivada

1

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Ma1005

Antiderivada

1.1 Conceptos
1.1.1. Antiderivada

V promedio =

V =

Δp
Δt

V =

dp
dt

dis tan cia recorrrida
tiempo

Ven cualquier

punto

=

cambio de posición
cambio de tiempo

Para conocer la velocidad en una posición p se necesita saber en cuanto tiempo pasó de una
posición a otra.
Si se conoce la velocidad ¿Cómosaber la posición del tren?
Analíticamente
Si f ´(x ) ⇒ f (x ) = ?
El proceso que se lleva a cabo para que a partir de una derivada encontremos la función original,
se le llama antiderivada.
Ejemplo:
Demostrar que F ( x ) = x 2 − 4 x + 1 es la antiderivada de
f (x ) = 1 x 3 − 2 x 2 + x − 1
3
f ´(x ) = 3 x 2 − 4 x + 1
3
2
= x − 4 x + 1 = F (x )

f (x ) = 1 x 3 − 2 x 2 + x − 1
3

entonces F (x ) es laantiderivada de f ( x )
2
si F ( x ) = 2 x f ( x ) = x porque f ´( x ) = 2 x

f ( x ) = x 2 + 2 porque f ´( x ) = 2 x

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Unidad I Antiderivada

2

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Antiderivada

f ( x ) = x − 1 porque f ´( x ) = 2 x
2
en general f ( x ) = x + C
una constante
entonces una función es una antiderivada de muchas funciones
2

en general, si G (x ) es una antiderivada de una función f ( x) entonces cada antiderivada F (x ) es
de la forma

F (x ) = G(x ) + C
Ejemplo
Si
f (x ) = 3x 2 + 5 x + 1
f (x ) = 3x 2 + 5 x + 8

f ( x ) = 3 x 2 + 5 x + 3624

f ´( x ) = 6 x + 5
f ´( x ) = 6 x + 5
f ´( x ) = 6 x + 5

2
entonces la función 3 x + 5 x + C es antiderivada de 6 x + 5 porque 6 x + 5 es la derivada de
3x 2 + 5 x + C .

El proceso de encontrar la función original a partir de suderivada se le llama
antiderivada o integración

Integral indefinida

∫ f (x )dx = F (x ) + C

Esto se lee: La integral indefinida de f ( x ) con respecto a x es igual a F (x ) más C
y = F (x ) + C

∫ dy = ∫ F´(x )dx

dy
= F ´( x )
dx
dy = F ´(x )dx

y = F (x ) + C

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⇒ f ( x ) = F ´( x )

f ( x ) es la derivada de una función F (x )

Unidad I Antiderivada

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1.2.1 Reglas de integración

Para encontrar la “función original” a partir de su derivada se aplican las reglas de integración.

∫ dx = x + C

porque la integración o antiderivada es el proceso inverso de la derivación

∫ kdx = kx + C
porque

integral de una constante

d (kx + C )
=k
dx

Ejemplos:

∫ 3dx = 3x + C

∫ 1 2 dx = 1 2 x + C

∫x

n

dx =

1 n +1
x + C (OJO,
n +1

n ≠ −1 )

Ejemplos:∫ x dx
2

=

1 3
x +C
3

1

∫ x dx = 4 x
3

4

+C

∫ 2 x dx = 2∫ x dx
2

2

=

∫ 3x

2

dx

= 3∫ x 2 + C
3x 3
=
+C
3
= x3 + C

ngj/v2008

en general

2 3
x +C
3

∫ kf (x )dx = k ∫ f (x )dx

Unidad I Antiderivada

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Antiderivada

∫ [ f (x ) + g (x )]dx = f (x )dx + g (x )dx
∫ [ f (x ) − g (x )]dx = f (x )dx − g (x )dx
Ejemplos

∫ (3x

4

)

= ∫ 3x 4 dx + ∫ 2 x 2 dx

+ 2 x 2dx

= 3∫ x 4 dx + 2 ∫ x 2 dx
3x 5
2x 3
+ C1 +
+ C2
5
3
C1 + C 2 = C
=

3 5 2 3
x + x +C
5
3
3x 6 4 x 5 / 2 2 x1 / 2
dx
=
+
−
+C
6
5/ 2
1/ 2
1 x 6 + 8 x 5 / 2 − 4 x1 / 2 + C
2
5

=

∫ (3x

5

+ 4 x 3 / 2 − 2 x −1 / 2

)

∫e

x

dx = e x + C

Ejemplos:

∫ (2e

x

)

x4
+C
4
= 2e x − 1 x 4 + C
4

− x 3 dx = 2e x −

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∫x

−1

dx = ∫

Unidad I Antiderivada

dx
= ln x + C
x

x≠0

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Antiderivada

Aplicaciones:
1) La función costo marginal de una empresa es C´(x) = 30 + 0.05x . Si los costos fijos por mes
son de $2000, encontrar la función costo.
Solución:
C´(x) = 30 + 0.05 x

⇒ C ( x) =

∫ (30 + 0.05 x )dx

= 30 x + 0.025 x 2 + k
C ( x) = 30 x + 0.025 x 2 + k
k = 2000
C ( x) = 30 x + 0.025 x 2 + 2000

2) El costo marginal de cierta empresa está dado por C´(x)...