02 Cap02 04 Convolucion

2.6. La integral de convolución

2.6.

141

La integral de convolución

La convolución entre dos funciones es un concepto físico importante en muchas ramas
de la ciencia. Sin embargo, como sucede con muchas relaciones matemáticas importantes,
no es sencillo comprender sus alcances e implicaciones. Para el caso de sistemas lineales
e invariantes en el tiempo, la integral de convolución permitedeterminar la respuesta del
sistema ante cualquier entrada, a partir del conocimiento de la respuesta del sistema ante
una única entrada particular, el impulso. Si la respuesta del sistema ante un impulso (la
“respuesta impulsiva” del sistema) se nota como h (t) , la salida de un sistema lineal e
invariante en el tiempo (SLIT) excitado con una entrada cualquiera x (t) está dada por la
expresión
Z
Z
y(t) =

∞

∞

τ ) dτ =

x (τ ) h (t

∞

∞

x (t

τ ) h (τ ) dτ,

(2.100)

y se dice que la función y (t) es la convolución de las funciones x (t) y h (t) , que se nota
x (t) h (t) .

2.6.1.

Derivación de la integral de convolución

En esta sección se muestra que un sistema lineal e invariante en el tiempo queda completamente caracterizado por su respuesta impulsiva. En otras palabras, elconocimiento de
la respuesta del sistema a un impulso de amplitud unitaria permite determinar su salida
para una entrada arbitraria aplicando la integral de convolución (2.100).
Una señal continua arbitraria x (t) se puede aproximar con precisión arbitraria por una
versión “escalonada” xˆ (t), como la que se muestra en la Fig. 2.52( a) . Aunque los escalones
podrían tener distinto ancho, lo habitual eselegir el mismo valor ∆ para todos. La señal
escalonada xˆ (t) se puede expresar como una combinación lineal de pulsos temporales
de ancho ∆ escalados y desplazados, como ilustran las Figs. 2.52(b)-(e) . Si se define el
pulso δ∆ (t) como
( 1
0 < t < ∆,
∆,
δ∆ (t) =
0,
en caso contrario,
que tiene área unitaria, la expresión δ∆ (t
tiempo
( 1
∆,
δ∆ (t k∆) =
0,

k∆) representa un pulso desplazado en elk∆ < t < (k + 1)∆,
en caso contrario.

Entonces, la aproximación escalonada xˆ (t) de la señal continua x (t) se puede escribir
∞

xˆ (t) =

∑

k= ∞

x (k∆) δ∆ (t

k∆) ∆.

(2.101)

Observando la Fig. 2.52 se nota que sólo un término de la sumatoria (2.101) es no nulo
para cada valor de t. A medida que el intervalo ∆ tiende a cero, la aproximación xˆ (t) es
cada vez más fiel, y en el límite, cuando∆ ! 0, es igual a x (t),
∞

x (t) = l´ım

∆ !0

Procesamiento Digital de Señales

∑

k= ∞

x (k∆) δ∆ (t

k∆) ∆.

(2.102)

U.N.S. 2011

2. Análisis de Fourier

142

Fig. 2.52. Aproximación escalonada a una señal continua.

Si ∆ se hace cada vez más pequeño, la sumatoria de la ecuación (2.102) tiende a una
integral (la conocida aproximación de Riemann): para ∆ ! 0, se tiene que ∆ ! dτ,Procesamiento Digital de Señales

U.N.S. 2011

2.6. La integral de convolución

143

Fig. 2.53. Interpretación grá…ca de la ecuación (2.102).

k∆ ! τ, y δ∆ (t

k∆) ! δ(t

τ ). Entonces (2.102) se puede expresar como
x (t) =

Z ∞

∞

x (τ ) δ (t

τ ) dτ.

(2.103)

La expresión (2.103) no es otra cosa que la Propiedad 3 del impulso (Sección 2.3.4). El
pasaje al límite de la expresión (2.102) a la ecuación(2.103) se puede interpretar con la
ayuda de la Fig. 2.53, donde se han graficado las funciones x (τ ) , δ∆ (t τ ) y su producto.
En esta representación, t es un valor determinado [el instante de tiempo donde se quiere
calcular x (t)] y τ = k∆ es la variable. El área bajo la curva x (τ ) δ∆ (t τ ) se puede
aproximar por el área sombreada del rectángulo de la Fig. 2.53(c), que es x (m∆) ∆, donde
t ∆< m∆ < t; para este valor de t, el término con k = m es el único término no nulo
en la sumatoria de la ecuación (2.102). En consecuencia en el límite, cuando ∆ ! 0, x (t)
iguala el área bajo al curva ∆x (τ ) δ∆ (t τ ) .
Esta representación escalonada permite estudiar la respuesta o salida y(t) de un sistema
lineal ante una entrada arbitraria x (t). En la Fig. 2.54( a) se ha representado la señal...