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METODO
GRAFICO
Investigación Operativa I

Resolución de un problema de programación
lineal (PPL) mediante el método gráfico
(dos variables de decisión)
El método de solución gráfica es aplicable sólo a problemas
simples que no excedan de dos variables.

No obstante, dos variables no son suficientes para describir o
representar problemas reales, pero éste método proporciona
importantes ideas delos procedimientos de solución de P.L.

Recordemos el modelo del Ejemplo 1:

Max Z = 8X m + 6X s
S.A.

4 X m + 2 X s ≤ 60

2Xm + 4Xs ≤ 48
Xm ≥ 0
Xs ≥ 0

Gráfica: Se dibuja sobre el gráfico las restricciones de No Negatividad, según la
figura siguiente:
Xs

Xm

Cada una de las restricciones se grafican, considerando inicialmente la
desigualdad como una igualdad.
Así, se grafica la primerarestricción como la ecuación:

4X

m

+ 2X

Si : X

m

Si : X

s

s

= 60

=0⇒ X
=0⇒ X

s

= 30

m

= 15

Las dos coordenadas anteriores se señalan en la gráfica y se unen con una línea
recta, pero el signo de la desigualad incluye a todos los pares ordenados que
están a la izquierda de dicha recta. La siguiente figura representa dicha
situación:
Xs
Restricción 1

Xm

Para la segunda ecuación, seefectúa el mismo desarrollo, es así:

2 X m + 4 X s = 48
Si : X m = 0 ⇒ X s = 12
Si : X s = 0 ⇒ X m = 24
Las dos coordenadas anteriores se señalan en la gráfica y se unen con una línea recta,
pero el signo de la desigualad incluye a todos los pares ordenados que están a la
izquierda de dicha recta. La siguiente figura representa dicha situación:

Xs

Restricción 2

Xm

La intersección de las dosinecuaciones, combinada a la ecuación de no
negatividad, genera la región de soluciones factible (RSF), como se indica en la
figura. La región achurada indica que todos los puntos que están en los bordes y
dentro de a región factible, satisfacen simultáneamente todas las restricciones del
PPL.
Xs
Restricción 1

Restricción 2

Xm

El problema es encontrar uno o más puntos (o soluciones) en la RSF, demanera tal que
maximice la función objetivo. La solución óptima se debe graficar, a través de toda la
región de soluciones. Así, cada línea de isoganancias se obtiene haciendo la función
objetivo igual a un valor arbitrario, por ejemplo, se elegimos igualar la utilidad a $48
(u.m.), esta se gráfica (con línea segmentada) de igual manera que las inecuaciones
anteriores. Esta línea de isogananciasrepresenta todas las cantidades posibles de
mesas y sillas que producirán una utilidad total de $48 (u.m.). El problema, finalmente, se
resume en encontrar la línea de isoganancia que tenga la mayor utilidad y que este sobre
la región de soluciones factibles. Lo anterior se realiza, moviendo la línea de isoganancia
en forma paralela a una línea de isoganancia arbitraria, hasta que alcance el últimopunto
de la RSF.
De esta manera, el último punto factible es el identificado con la letra D, por lo cual, es el
punto óptimo se encuentra por la intersección de las restricciones 1 y 2, así:

4 X m + 2 X s ≤ 60
2 X m + 4 X s ≤ 48
⇒ X s = 6 (u) sillas
⇒ X m = 12 (u) mesas

El valor de la contribución máxima es:

max
Z = 8X

m

+ 6X

s

Z = $ 132 (u.m)
Restricción Restricción
1 1

Xs

Xs

U=$132(u.m.)
U=132(um)

Restricción
2
Restricción 2
U=$48 (u.m.)

U=48(um)

D

RSF

Xm

Xm

Método Gráfico, Ejemplo 2:
Una pequeña fábrica de muebles, elabora únicamente dos productos: Escritorios y Sillas.
Este fabricante tiene cuatros secciones: sección corte, en la cual se procesan silla y
escritorios; sección armado, en la cual se ensamblan las sillas y escritorios; sección
tapicería, en la cual sólose incluye el tapiz de las sillas y sección cubiertas, en la cual se
fabrican dichas cubiertas y se colocan en los escritorios. Durante el siguiente periodo de
producción, hay 27.000 minutos disponibles para cada una de las secciones y este
tiempo no se puede alterar dentro de los parámetros del problema. En cada una de las
secciones, se ha establecido que los tiempos estándares fijos que se...