06 Series De Fourier 2013
Páginas: 32 (7792 palabras)
Publicado: 12 de mayo de 2015
Capítulo 6 – Series de Fourier
Dr. Eduardo Bambill
Mg. Silvina Medus
CALCULO AVANZADO
CAPITULO 6
Series de Fourier
Objetivos
Una de las herramientas más útiles del análisis matemático, lo constituyen las
denominadas series de Fourier. Se denominan así, en honor al matemático francés Jean
Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). El análisis de Fourier está presente en todos los
campos de lasciencias físicas.
En 1822, Fourier estableció en su estudio sobre el calor, que toda función f(x) de
período 2π puede ser representada por una serie trigonométrica infinita de la forma
∞
f ( x ) = a0 +
∑ [a
k
cos(nπx ) + bk sen(nπx )]
n=1
El estudio de las series de Fourier se llama análisis armónico, y es de extrema
utilidad para descomponer una función periódica arbitraria en un conjunto simplede
términos que pueden ser relacionados, resueltos en forma individual, y luego
recombinados para obtener la solución original del problema, o una aproximación a él,
con una precisión arbitraria, deseada o práctica.
6.1 Introducción
En la física y la ingeniería son muy comunes los fenómenos periódicos, y resulta
conveniente representar las funciones periódicas en términos de funcionesperiódicas
simples, como el seno y coseno.
Una serie trigonométrica es una expresión de la forma:
∞
S ( x ) = a0 +
∑ [a
n
cos (nπx ) + bn sen(nπx )]
(1.)
n=1
donde an y bn con n = 1; 2;….. son constantes. En el conjunto de puntos donde la serie
(1) converge, define una función f(x) cuyo valor en cada punto es la suma de la serie
para ese valor de x. En ese caso la serie (1) es la serie de Fouriercorrespondiente a esa
función f(x). Nuestro principal objetivo será determinar que funciones pueden ser
representadas por las series de Fourier, a partir de una determinada función. Si tal serie
converge para todo x, tal que − ∞ < x < +∞ , en algún sentido que precisaremos más
adelante, entonces representará una función periódica de período 2π y bastará por
tanto estudiar su restricción al intervalo[− π ,+π ] .
Capítulo 6 – Series de Fourier
CALCULO AVANZADO
Dr. Eduardo Bambill
Mg. Silvina Medus
Un poco de historia
La cuestión de si una función arbitraria f(x), con x ε [- π ,+π ] , puede expresarse
como una expansión del tipo (1.), aparece a mediados del siglo XVIII asociada a los
estudios de Leonhard Euler (1701-1783) y de Daniel Bernouilli (1700-1782) sobre el
problema de la cuerdavibrante.
Bernouilli llega al punto de plantearse la solución del problema de la cuerda
vibrante en forma de serie trigonométrica, a partir de consideraciones de tipo físico, que
le llevan a pensar, que la cuerda oscila involucrando varias frecuencias al mismo tiempo,
cuyas amplitudes respectivas dependen de la forma inicial de la vibración, es decir, del
modo en que se haya empezado a mover la cuerda.Esta posibilidad, descubierta por
Bernouilli, es lo que hoy llamamos principio de superposición y ha resultado ser un
principio de gran importancia en muchas ramas de la Física matemática.
Sin embargo, Euler entiende que esta idea de Bernouilli lleva a un resultado
aparentemente paradójico, de acuerdo con algunos conceptos matemáticos de su
época. Resultaba en ese entonces inadmisible el hecho deque una función arbitraria
pudiera ser expresada en forma de serie trigonométrica. Hay que tener en cuenta, que
para los matemáticos contemporáneos de Euler, las curvas se dividían en dos clases:
curvas continuas y curvas geométricas.
En contraste con la terminología adoptada hoy en día, una curva se decía
continua si sus ordenadas y sus abscisas podían conectarse mediante alguna fórmula y
= f(x).Por otra parte una curva se denominaba geométrica si podía dibujarse de alguna
forma solo con trazos continuos o discontinuos. Pensaban por tanto, que la segunda
categoría de curvas era más amplia que la primera, ya que lo que nosotros
denominamos como una función continua a trozos, puede dibujarse, pero no puede
expresarse si no es con varias fórmulas. Así, si una función arbitraria podía...
Dr. Eduardo Bambill
Mg. Silvina Medus
CALCULO AVANZADO
CAPITULO 6
Series de Fourier
Objetivos
Una de las herramientas más útiles del análisis matemático, lo constituyen las
denominadas series de Fourier. Se denominan así, en honor al matemático francés Jean
Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). El análisis de Fourier está presente en todos los
campos de lasciencias físicas.
En 1822, Fourier estableció en su estudio sobre el calor, que toda función f(x) de
período 2π puede ser representada por una serie trigonométrica infinita de la forma
∞
f ( x ) = a0 +
∑ [a
k
cos(nπx ) + bk sen(nπx )]
n=1
El estudio de las series de Fourier se llama análisis armónico, y es de extrema
utilidad para descomponer una función periódica arbitraria en un conjunto simplede
términos que pueden ser relacionados, resueltos en forma individual, y luego
recombinados para obtener la solución original del problema, o una aproximación a él,
con una precisión arbitraria, deseada o práctica.
6.1 Introducción
En la física y la ingeniería son muy comunes los fenómenos periódicos, y resulta
conveniente representar las funciones periódicas en términos de funcionesperiódicas
simples, como el seno y coseno.
Una serie trigonométrica es una expresión de la forma:
∞
S ( x ) = a0 +
∑ [a
n
cos (nπx ) + bn sen(nπx )]
(1.)
n=1
donde an y bn con n = 1; 2;….. son constantes. En el conjunto de puntos donde la serie
(1) converge, define una función f(x) cuyo valor en cada punto es la suma de la serie
para ese valor de x. En ese caso la serie (1) es la serie de Fouriercorrespondiente a esa
función f(x). Nuestro principal objetivo será determinar que funciones pueden ser
representadas por las series de Fourier, a partir de una determinada función. Si tal serie
converge para todo x, tal que − ∞ < x < +∞ , en algún sentido que precisaremos más
adelante, entonces representará una función periódica de período 2π y bastará por
tanto estudiar su restricción al intervalo[− π ,+π ] .
Capítulo 6 – Series de Fourier
CALCULO AVANZADO
Dr. Eduardo Bambill
Mg. Silvina Medus
Un poco de historia
La cuestión de si una función arbitraria f(x), con x ε [- π ,+π ] , puede expresarse
como una expansión del tipo (1.), aparece a mediados del siglo XVIII asociada a los
estudios de Leonhard Euler (1701-1783) y de Daniel Bernouilli (1700-1782) sobre el
problema de la cuerdavibrante.
Bernouilli llega al punto de plantearse la solución del problema de la cuerda
vibrante en forma de serie trigonométrica, a partir de consideraciones de tipo físico, que
le llevan a pensar, que la cuerda oscila involucrando varias frecuencias al mismo tiempo,
cuyas amplitudes respectivas dependen de la forma inicial de la vibración, es decir, del
modo en que se haya empezado a mover la cuerda.Esta posibilidad, descubierta por
Bernouilli, es lo que hoy llamamos principio de superposición y ha resultado ser un
principio de gran importancia en muchas ramas de la Física matemática.
Sin embargo, Euler entiende que esta idea de Bernouilli lleva a un resultado
aparentemente paradójico, de acuerdo con algunos conceptos matemáticos de su
época. Resultaba en ese entonces inadmisible el hecho deque una función arbitraria
pudiera ser expresada en forma de serie trigonométrica. Hay que tener en cuenta, que
para los matemáticos contemporáneos de Euler, las curvas se dividían en dos clases:
curvas continuas y curvas geométricas.
En contraste con la terminología adoptada hoy en día, una curva se decía
continua si sus ordenadas y sus abscisas podían conectarse mediante alguna fórmula y
= f(x).Por otra parte una curva se denominaba geométrica si podía dibujarse de alguna
forma solo con trazos continuos o discontinuos. Pensaban por tanto, que la segunda
categoría de curvas era más amplia que la primera, ya que lo que nosotros
denominamos como una función continua a trozos, puede dibujarse, pero no puede
expresarse si no es con varias fórmulas. Así, si una función arbitraria podía...
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