08 Sustituciones Diversas

MATEMÁTICA IV.
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA
ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,
CIENCIA Y TECNOLOGÍA.
CAPÍTULO 1: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
SUSTITUCIONES DIVERSAS.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Sustituciones diversas.

1.13.- SUSTITUCIONES DIVERSAS.
1. Una ecuación diferencial de la forma

dy
 f (a x  b y  c) ,b  0 , puede reducirse
dx

siempre a una ecuación de variables separables por medio de la sustitución u  a x  b y  c
2. Para una ecuación de la forma y f ( x. y) d x  x g ( x. y) d y  0 , la sustitución x y  z ,
y

z
,
x

dy

xd z  zd x
x2

reduce

una

ecuación

de

este

tipo

a

la

forma

P ( x, z) d x  Q ( x, z) d z  0 en la que las variables son separables.

Ejemplo 1.10.Resolver

dy
 sen ( x  y )
dx

Solución.
dy
 sen ( x  y )
dx

Sea u  x  y , luego

du
dy
, de donde:
 1
dx
dx

d y du

1
dx dx

Al sustituir en la ecuación diferencial:
du
 1  sen u
dx
du
 1  sen u
dx

Al separar las variables:
du
dx
1  sen u

La integración proporciona:
du

 1  sen u   d x
Matemática IV. Ing. Willians Medina.

http://www.slideshare.net/asesoracademico/

62

Capítulo1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Sustituciones diversas.

La integral del miembro izquierdo se resuelve mediante aplicación de la conjugada,
mientras que la de la derecha es inmediata.
du

1  sen u

 1  sen u  1  sen u   d x



(1  sen u ) d u
 d x
1  sen 2 u



(1  sen u ) d u
 d x
cos 2 u

Al separar el lado izquierdo en dos integrales y aplicar identidadestrigonométricas:

 sec

2

u d u   sec u tan u d u   d x

La integración da como resultado:
tan u  sec u  x  c

Al volver a las variables iniciales, tenemos la solución general de la ecuación diferencial:
tan ( x  y)  sec ( x  y)  x  c

Ejercicios propuestos.
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales usando la sustitución dada.
1. y   sen x e ( x y )  1 , u  x  y

2. y d x  (1 y e x ) d y  0 , u  e  x

3. y   ( x  y) 2 e 3 x  x  y  1 , u  x  y

4. x 4 y 2 y   x 3 y 3  2 x 3  3 , u  x y

5. (1  3 x sen y) d x  x 2 cos y d y  0 , u  sen y
6. ( x 2 y 2  x y  2) x d y  y ( x 2 y 2  1) d x  0 , u  x y
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
7.

dy
 ( x  y) 2
dx

8.

9.

dy
 ( x  4 y  1) 2
dx

10. ( x  y ) 2

11.

dy
 2
dx

y2x3

Matemática IV. Ing. Willians Medina.

dy
 ( x  y  1) 2
dx

12.

dy
4
dx

dy
 y  x  1  ( x  y  2) 1
dx

http://www.slideshare.net/asesoracademico/

63

Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

13.
15*.

dy
 (9 x  4 y  1) 2
dx

Sustituciones diversas.

14. y   2 (3 x  y) 2  1 ; cuando x = 0, y = 1.

d x 1 x  y

dy
x y

16. (3 x  2 y  1) d x  (3 x  2 y  3) d y 0

17. ( x  2 y  1) d x  ( x  2 y  5) d y  0

18. ( x  2 y  1) d x  (2 x  4 y  3) d y  0

19. 4 (3 x  y  2) d x  (3 x  y) d y  0 ; cuando x = 1, y = 0.
20.

dy
 sen ( x  y )
dx

21.

22.

dy
 tan 2 ( x  y )
dx

23*.

dy
1

2
d x ln (2 x  y  3)  1

25. y   1  6 e x  y

24. y   e x  y
26.

dy
 tan ( x  y )
dx

dy
 1  e y  x 5
dx

27. cos y

d y sen y

 sen 2x
dx
x

28. y cos x d x  (2 y  sen x) d y  0
29*. ( x  sen x  sen y) d x  cos y d y  0 30. sen y ( x  sen y) d x  2 x 2 cos y d y  0
31. (cos 2 y  sen x) d x  2 tan x sen 2 y d y  0
32. y sec 2 x d x  3 tan x d y  y cos 2 2 y d y
33. (3 tan x  2 cos y) sec 2 x d x  tan x sen y d y  0
34. y  tan x sen 2 y  sen 2 x  cos 2 y

35. (3 sen y  5 x) d x  2 x 2 cot y d y  0

36*.sec 2 u d u  tan 3 u d x   x tan u d x

37. cos y sen 2 x d x  (cos 2 y  cos 2 x) d y  0

38. 2 y d x  x ( x 2 ln y  1) d y  0

39. y ( x tan x  ln y) d x  tan x d y  0



1
x 
1
x 
40*. ln [ln ( x  y)] 
d x  
d y  0
ln ( x  y) x  y 

 ln ( x  y) x  y 

41. ( y  e y  e  x ) d x  (1  e y ) d y  0

42.

dv
 (u  v) 2  2 (u  v)  2
du

43. (k e2 v  u)...