02 Ecuaciones Diferenciales De Variables Separables

MATEMÁTICA IV.
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA
ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,
CIENCIA Y TECNOLOGÍA.
CAPÍTULO 1: ECUACIONES
DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
ECUACIONES DE VARIABLES
SEPARABLES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Ecuaciones de variables separables.

1.5.- VARIABLES SEPARABLES.
Se dice que una ecuación diferencial de laforma

dy
d y g ( x)
es
 g ( x) h ( y ) ó

dx
d x h ( y)

separable o que tiene variables separables.
Separación de variables.
Se dice que una ecuación diferencial de la forma

dy
 F ( x, y ) es separable o que tiene
dx

variables separables si la función F ( x, y) se puede escribir como el producto o cociente de
una función de “x” y una función de “y”. Es decir:

dy
d y g ( x)
.
 g ( x) h ( y )ó

dx
d x h ( y)

Solución general de una ecuación diferencial de variables separables.
dy
Si la ecuación de primer orden
 F ( x, y ) puede escribirse con variables separadas en
dx
la forma diferencial h ( y) d y  g ( x) d x siendo h y g continuas, entonces la solución
general es  h ( y) d y   g ( x) d x  C siendo C una constante arbitraria.
Ejemplo 1.5.
Resolver x 3 d x  ( y  1) 2 d y 0
Solución.
Para expresar la ecuación diferencial en forma de variables separadas, en primer lugar
separamos los diferenciales

x 3 d x  ( y  1) 2 d y
Observamos que la ecuación diferencial está escrita en la forma g ( x) d x  h ( y) d y por lo
tanto, las variables están separadas.
Procedemos a integrar ambos miembros de la ecuación diferencial

 x d x   ( y  1)
3

2

dy

De donde lasolución general de la ecuación diferencial es
1
4

x 4   13 ( y  1) 3  C

1
4

x 4  13 ( y  1) 3  C

Matemática IV. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Ecuaciones de variables separables.

3 x 4  4 ( y  1) 3  C
Ejemplo 1.6.
Resolver x 2 ( y  1) d x  y 2 ( x  1) d y  0
Solución.
Para expresar laecuación diferencial en forma de variables separadas, en primer lugar
separamos los diferenciales

x 2 ( y  1) d x   y 2 ( x  1) d y
Agrupamos las expresiones que dependen de x en el miembro izquierdo de la ecuación y las
que dependen de y en el miembro derecho. Para ello es necesario pasar el factor y  1 a
dividir al miembro derecho y el factor x  1 a dividir al miembro izquierdo.

x2
y2dx
dy
x 1
y 1
Observamos que la ecuación diferencial está escrita en la forma g ( x) d x  h ( y) d y por lo
tanto, las variables están separadas.
Procedemos a integrar ambos miembros de la ecuación diferencial

x2
y2
 x  1 d x   y  1 d y
De donde la solución general de la ecuación diferencial es
1
2

x 2  x  ln ( x  1)   12 y 2  y  ln ( y  1)  C

1
2

x 2  12 y 2  x  y  ln ( x 1)  ln ( y  1)  C

1
2

( x 2  y 2 )  x  y  ln [( x  1) ( y  1)]  C

Ejemplo 1.7.
Resolver ( y 2  x y 2 ) y   x 2  y x 2  0
Solución.
La ecuación diferencial dada la podemos escribir como
(y2  x y2 )

dy
 x2  y x2  0
dx

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Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Ecuaciones devariables separables.

De donde
(y2  x y2 )

dy
 x 2  y x 2
dx

Para expresar la ecuación diferencial en forma de variables separadas, en primer lugar
separamos los diferenciales

( y 2  x y 2 ) d y  ( x 2  y x 2 ) d x
Tomamos factor común en las expresiones donde sea aplicable (y2 en el miembro izquierdo
y x2 en el miembro derecho)

y 2 (1  x) d y  x 2 (1  y) d x
y 2 ( x  1) d y  x 2 ( y 1) d x
Agrupamos las expresiones que dependen de x en el miembro derecho de la ecuación y las
que dependen de y en el miembro izquierdo. Para ello es necesario pasar el factor y  1 a
dividir al miembro izquierdo y el factor x  1 a dividir al miembro derecho.

y2
x2
dy
dx
y 1
x 1
Observamos que la ecuación diferencial está escrita en la forma h ( y) d y  g ( x) d x por lo
tanto, las...