1 Interpolaci n lineal

Qué es el análisis numérico?
El análisis numérico tiene que ver con el desarrollo y evaluación de métodos para calcular los resultados numéricos requeridos a partir de datos numéricos.

La presencia de error
Con frecuencia encontraremos que existen varios algoritmos disponibles para producir la información de salida que se requiere y debemos escoger entre ellos. Dos criterios son la rapidez yla exactitud.

TEOREMA DE LAGRANGE: el incremento que experimenta una función continua y derivable en un intervalo cerrado es igual al incremento de la variable independiente multiplicado por la derivada en un punto intermedio.
En símbolos es: Sí es continua y derivable en 

y Q y=f(x)
P  R

0 Tx1 S x
a b


EJEMPLO
Aplicar el Teorema de Lagrange a la función en el intervalo cerrado . (Lo que se pide es hallar un punto en el intervalo dado, en el cual la tangente a la curva sea paralela a la cuerda que une los puntos correspondientes).
Solución:
si
, entonces
si

Derivando la función,igualando a cero la derivada

En
Aplicando el teorema

 
En el punto
Por el punto , pasa la tangente a la curva dada, que es paralela a la cuerda que une los puntos P y Q



TEOREMA DE ROLLE: si una función continua y derivable, toma valores iguales en los extremos de un intervalo cerrado, existe al menos un punto intermedio en el cual la derivadaes nula.
En símbolos:
Sí f(x) es continua y derivable en , 



EJEMPLO
Dada la función ; Demostrar que satisface el Teorema de Rolle en el intervalo y encontrar todos los números reales , en el intervalo abierto , tales que
Solución:
es derivable y continua en todo el intervalo y


Cumple con
Derivando la función :



Entonces en el punto la tangente a lacurva dada es paralela al eje x












TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
Si f es integrable en y si , en todo el intervalo, y siendo M y m, los valores máximo y mínimo absolutos de la función en tal intervalo, entonces,

Demostración:











TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
Si f es continua e integrable en todo el intervalo , existe un número C perteneciente al intervalo , tal que:Demostración:

De

Por el teorema del valor medio para derivadas





Pero 



El número se llama valor medio o valor promedio de f en .
Ejemplo
1) El crecimiento de un arbusto en su primer mes de vida sigue un modelo dado por la fórmula , en donde x se mide en días y es el tamaño del arbusto, en cm, a los x días de que es plantado. a) ¿De qué tamaño se plantó elarbusto? b) ¿Cuál es el tamaño promedio del arbusto en su primer mes de crecimiento?.
Solución:
a)
El arbusto se plantó de 12 cm
b) El tamaño promedio en su primer mes de crecimiento

=

El tamaño a los 30 días es:











RECTA DE REGRESIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS
A menudo, en los experimentos científicos los valores de dos cantidades correspondientes x e y se escriben en una tabla comosigue:
Valores de x: ...
Valores de y: ...

Al situar los puntos , un investigador puede conjeturar que las variables x e y están relacionadas linealmente, es decir , para números m y b. Entonces, querrá encontrar una recta L cuya ecuación sea la que “mejor se ajuste” a los datos. Los estadísticos llaman a L recta de regresión lineal.

Se puede encontrar L usando el método de mínimoscuadrados. Para aplicar este método, se considera para cada i, la desviación vertical del punto con respecto a la recta . Entonces los valores “m” y “b” se determinan buscando el mínimo de la suma de los cuadrados (se usan los cuadrados porque algunos valores de pueden ser negativos). Sustituyendo se obtiene la siguiente función f de “m” y “b”:








. . .
. . ....