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Cálculo Diferencial e Integral I
o
l

I
IBI-101

LA DERIVAD
D
DA
El prob
blema de la recta tang
a
gente.
¿Qué significa dec que una recta es tan
s
cir
r
ngente a un curva en u punto? P
na
un
Para un círc
culo,
la recta tang
a
gente en un punto P es la recta pe
n
s
erpendicula al
ar
radio que pa por P, co
r
asa
omo indica la Figura1.
a
Para una cu
P
urva general, la recta que mejor aproxima a la
curva cerca de P es ot ra noción de la recta t
c
tangente en un
n
punto P. Per el concep de límit proporcio una man
p
ro
pto
te
ona
nera
de obtener una mejor d
d
u
descripción.
Esencialmen
E
nte, el problema de hallar la recta tangente en un
n
punto P se reduce al d hallar su pendiente en ese pun
p
de
u
e
nto.
Podemo aproxima lapendiente de la re
os
ar
ecta tangen usando la recta sec
nte
cante que p
pasa
por P y por otro punto Q cercando a la curva, com indica la Figura2. S
p
a
mo
Suponga que la
e
curva es la grá
áfica de la
ecuació y = f(x). Entonces P
ón
)
tiene coordenadas
c
s
(c, f(c)),
c)
un pun
nto cercan
no Q tien
ne
coordenadas (c+h, f(c+h)) y la
h,
recta secante de P a Q tien
s
nependien
nte dada sustituyend
do
en la fó
órmula

m
Es deci
ir:

y 2  y1
x2  x1

msec 

f (c  h)  f (c)
(c  h)  c

msec 

f (c  h)  f (c)
h

El miembro derecho de est
ta
ecuació
ón
es
un
u
cocient
nte
increme
mental. El de
enominador h
es el ca
ambio (o inc
cremento) en X y el num
e
merador es el cambio (o increment ) en Y.
to
Utilizan
ndo el conccepto de lím
mite, ahora podemos da una defi
ar
inición form de la re
mal
ecta
tangent
te:
Definic
ción. “La re
ecta tangent a la curva y= f(x) en el punto P (c, f(c)) e aquella re
te
a
n
es
ecta
que pas por P con pendiente
sa
n

mtan  Lim msec  Lim
c
h 0

h 0

f (c  h)  f (c
c)
h

UNIVE
ERSIDAD IN
NTERAMER
RICANA DE PANAMÁ
E
Á

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IBI-101

siempre y cuando este límite exista y no sea  ó - .”

Ejemplo: Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) = x2 en el punto
(2, 4).

Solución:

La recta cuya pendiente estamos buscando se muestra en la Figura3. Es claro que tiene
una pendiente positiva grande.

f (2  h)  f (2)
h
2
(2  h)  (2)2
Lim
h0
h
4  4h  h2  4
Limh0
h
2
4h  h
Lim
h0
h
h (4  h)
Lim
h0
h
Lim 4  h

mtan  Lim
h 0







h0

4
Ejemplo: Encuentre las pendientes de las rectas tangentes a la curva y = f (x) = -x2 + 5x

– 2 en los puntos con abscisas -1/2 y 4.

f (c  h)  f (c)
h0
h
 (c  h)2  5(c  h)  2  (c 2  5c  2)
Lim
h 0
h
2
2
 c  2ch  h  5c  5h  2  c 2  5c  2
Lim
h 0h
2
5h  2ch  h
Lim
h 0
h
h (5  2c  h)
Lim
h 0
h
5  2c

mtan  Lim






Las dos pendientes pedidas (obtenidas haciendo c = -1/2, 4) son 6 y -3 respectivamente.
Ritmos o velocidades de cambio.
Ya se ha visto que la derivada se utiliza para calcular pendientes. Pero también sirve
para determinar el ritmo de cambio de una variable respecto a otra, lo que le confiereutilidad en una amplia variedad de situaciones. Por citar algunas, son ejemplos los ritmos
de crecimiento de poblaciones, los ritmos de producción, los de flujo de un líquido, de la
velocidad y de la aceleración.

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PANAMÁ

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Un uso frecuente de los ritmos de cambio consiste en describir el movimiento de unobjeto que va en línea recta. En tales problemas, la recta del movimiento se suele
representar en posición horizontal o vertical, con un origen marcado en ella. Sobre tales
rectas, el movimiento hacia la derecha (o hacia arriba) se considera de dirección positiva
y el movimiento hacia la izquierda (o hacia abajo) de dirección negativa.
Suponga que un objeto P se mueve a lo largo de un eje...