2 2015 Apunte De Clase N 2 A Calculo I Funcio N Lineal Y Cuadra Tica

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE ECONOMÍA Y EMPRESA
Ingeniería comercial
MARCEL SAINTARD

APUNTES DE CLASE
Segundo Semestre de 2015
APUNTE Nº2-A
Para CURSO de CÁLCULO I

Apunte Nº2-A: FUNCIONES LINEALES
I.- Concepto y Línea Recta.
1.- Función Lineal y sus componentes.
Definición: Se llama Función Lineal a toda función real definida como:
L = {(x, y)RR / y = mx + n, con m, nR}Observaciones:

i) Note que cuando x = 0, y = n. Luego, C(0, n) es el punto de L en que
intersecta o corta al eje y. A n se le llama coeficiente de posición de la
recta que grafica a L.
ii) Cuando x = 1, y = m + n, luego C(0, n) y V(1, m + n) son puntos de la
recta L. Podemos interpretar esto como: “la variable y varía m unidades
por cada unidad que varía la variable x”.
Esto es generalizable a dos puntoscualesquiera de L: Consideremos
P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en L; luego, y1 = mx1 + n y y2 = mx2 + n.
Al “ir” de P1 a P2, las variables x e y han variado x = x2 – x1 y
y = y2 – y1 respectivamente. Luego, la razón o cuociente entre las
y y 2  y1 mx2  mx1


 m.
variaciones de y y de x, resulta ser
x x2  x1
x2  x1
Lugo, podemos interpretar a la constante m de la función lineal como la
razónentre las variaciones o cambios de las variables coordenadas al
moverse de un punto a otro de la recta, es decir, m será la razón de
cambio de la variable y con respecto a la variable x.
iii) Geométricamente, m representa la inclinación del segmento P1P2 pues
para ir de P1 a P2 por cada unidad de desplazamiento horizontal, nos
desplazaremos m unidades verticalmente. Por esto es que se le llama
tambiénpendiente de la recta L.
L
y
y2

P2(x2, y2)

y1

x
P1(x1, y1)

0

x1

y

x2

x

iv) Note que, de lo anterior, m =

y y 2  y1
, para dos puntos P1(x1, y1)

x x2  x1

y P2(x2, y2) en L.
v) Para ciertos valores específicos de m y n se construyen rectas de gráfica
especial en el plano cartesiano:
a) Si n = 0, la función de ecuación y = mx, representa rectas del plano
que pasan por el puntoorigen O(0, 0).
b) Si m = 0, la función de ecuación y = n, cualquiera sea el valor de x,
representa rectas del plano que son horizontales (función constante).
c) Por último, está el caso de recta no funcional en que x = k, constante
cualquiera sea el valor de y, que representa rectas del plano que son
verticales. Se dice que su pendiente no existe o que tiende al infinito.
2.- Ecuaciones de RectaSegún la información con que se cuente respecto de la recta que se desea identificar,
convendrá usar diferentes ecuaciones para determinar un punto P(x, y) cualquiera (variable)
de dicha recta. De geometría clásica, sabemos que basta conocer dos puntos de una recta
para tenerla totalmente identificada; de aquí que bastará conocer dos datos cualesquiera para
determinar una ecuación que defina a larecta en cuestión.
2.1.- Ecuación Principal: Llámase así a la ecuación que definió a la Función Lineal. Basta
conocer el coeficiente de posición, n, y la pendiente, m, de la recta L para construir
una ecuación que relacione a las coordenadas x e y de cualquier punto P(x, y)L.
Es decir, si conocemos m y n, y = mx+ n, P(x, y)L, es la ecuación principal para L.
Ejemplo: La tarifa de un taxista es de$300 por tomar a los pasajeros más $80 por cada 300
metros recorridos. Determine la fórmula para calcular la tarifa que ha de pagar un
pasajero que recorre una distancia de x metros en un viaje.
Resp.: Si y es la cantidad a pagar por recorrer x metros, entonces y = mx + n ó
f(x) = mx + n será la fórmula que buscamos.
Si al recorrer 0 metros se paga $300 entonces n = 300. Y si por cada 300
metrosse cobra $90 entonces se pagará 300 = 3,75 pesos por metro, es
80

decir, m = 3,75. Luego, la fórmula para calcular el monto a pagar por
recorrer x metros es f(x) = 3,75x + 300.
2.2.- Ecuación Punto – Punto: Si conocemos dos puntos concretos (sus coordenadas) de L,
conocemos ecuación para todo P(x, y) de L.
Es decir, si conocemos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)L, entonces la ecuación punto - punto
y ...