2 modelos_probabilisticos

Distribuciones de Probabilidad.
Septiembre 2005

3.- Distribuciones de probabilidad
Introducción
Las variables aleatorias son los instrumentos matemáticos destinados
a representar los resultados de un determinado experimento
aleatorio. Para ello se requiere asignar a cada elemento del espacio
de las muestras un número. El resultado de dicha asignación es una
función matemática llamada variablealeatoria. Así, si el experimento
es lanzar una moneda y observar si sale cara o cruz, podemos
asignar un 1 a la cara y un 0 a la cruz y tendremos una variable
aleatoria.
Evidentemente esta asignación es en sí misma aleatoria, podríamos
asignar cualesquiera otros dos números distintos. En muchos
experimentos científicos la variable aleatoria asociada surge de
manera natural. Por ejemplo si elexperimento consiste en contar el
número de bacterias en un cierto cultivo de hora en hora, la variable
tomará como valores el número de cada recuento. Si se trata de
medir la temperatura en una cierta estancia, la variable tomará los
valores de dichas lecturas de temperatura.
Las variables aleatorias se dividen en discretas, si toman valores
discretos de un cierto conjunto, y continuas, si tomanvalores en un
rango continuo. Como cada suceso tiene asignado un cierto valor de
la variable aleatoria, es equivalente hablar de probabilidades para
los sucesos y para los valores que toma la variable aleatoria.
Esta asignación de probabilidades se realiza mediante una función
llamada de densidad de probabilidad. Definida para variables
discretas como:
f(xk) = p (X=xk)
También se definen las funcionesde distribución, que proporcionan
los valores acumulados de la probabilidad. Para variables discretas
tenemos:

y para variables continuas:

donde f(t) es la función de densidad continua, que permite calcular
probabilidades en intervalos:

Distribuciones discretas
Matlab proporciona las funciones necesarias para trabajar con las
distribuciones discretas más comunes: binomial, geométrica,hypergeométrica, binomial negativa y de Poisson.
Las distintas funciones de densidad de probabilidad de las
distribuciones discretas son las siguientes:
-

Binomial: binopdf
Geométrica: geopdf
Hipergeométrica: hygepdf
Binomial negativa: nbinpdf
Poisson: poisspdf

Por ejemplo, la función binopdf(50,100,0.5) proporciona la
probabilidad para el caso de una distribución B(100,0.5), la
probabilidad de obtener 50éxitos.
>> binopdf(50,100,0.5)
ans =
0.0796
Las distintas funciones de distribución de probabilidad de las
distribuciones discretas son las siguientes:
-

Binomial: binocdf
Geométrica: geocdf
Hipergeométrica: hygecdf
Binomial negativa: nbincdf
Poisson: poisscdf

Por ejemplo, la función geocdf(5,0.5) proporciona la probabilidad de
obtener 5 o menos éxitos en una distribución geométrica.

>>geopdf(5,0.5)
ans =
0.0156
Se puede obtener la media y la varianza de cada una de las
anteriores distribuciones de probabilidad utilizando las siguientes
sentencias:
-

Binomial: binostat
Geométrica: geostat
Hipergeométrica: hygestat
Binomial negativa: nbinstat
Poisson: poisstat

La siguiente función, [m,d]=binostat(10,0.5), almacena en la variable
m la media y en la d la varianza de la distribuciónbinomial B(10,0.5).
>> [m,d]=binostat(10,0.5)
m=
5
d=
2.5000
La sintaxis de cada una de las anteriores funciones se puede
consultar en la ayuda de Matlab.
Probemos ahora con la distribución binomial: Vamos a establecer una
binomial con 5 pruebas y probabilidad 0.3.
Podemos calcular la esperanza y la varianza de la siguiente forma:
>> [m,d]=binostat(5,0.3)
m=
1.5000
d=

1.0500
Veamos las funcionesde densidad y distribución:
>> X=[0 1 2 3 4 5]
X=
0

1

2

3

4

5

>> Y=binopdf(X,5,0.3)
Y=
0.1681
0.0024

0.3601

0.3087

0.1323

0.0283

0.9692

0.9976

>> Y=binocdf(X,5,0.3)
Y=
0.1681
1.0000

0.5282

0.8369

Vamos a representar las funciones de densidad y distribución:
>> X=[0 1 2 3 4 5];
>> Y=binopdf(X,5,0.3);
>> plot(X,Y,'*')

>> Y=binocdf(X,5,0.3);
>> plot(X,Y,'*')

Probemos ahora con...