4 Extremos

Extremos de Funciones Escalares

MOISES VILLENA

4
4.1.
4.1.
4.2.
4.2.
4.3.
4.3.
4.4.

POLINOMIOS DE TAYLOR
EXTREMOS DE FUNCIONES
ESCALARES
EXTREMOS CONDICIONADOS
(Multiplicadores de Lagrange)

Objetivos.
•

•

130

Encontrar Polinomios de Taylor para funciones de dos
variables.
Optimizar funciones de dos y tres variables sin restricciones y
con una y dos restricciones de igualdad

Extremos deFunciones Escalares

MOISES VILLENA

4.1 POLINOMIOS DE TAYLOR
En el capitulo anterior se mencionó que si

f

es una función diferenciable

z = f ( x0 ) + ⎡⎣ Df ( x 0 ) ⎤⎦ [ x − x 0 ] debe ser
aproximación de la función en la vecindad de x 0 , es decir:
f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + ⎡⎣ Df ( x 0 ) ⎤⎦ [ x − x 0 ]
entonces

una

buena

Para funciones de dos variables tenemos:

⎡ ∂f
f ( x, y ) ≈ f ( x0 , y0 ) +⎢
⎣ ∂x

⎡ x − x0 ⎤
∂f ⎤
⎢
⎥
∂y ⎥⎦ ( x0 , y0 ) ⎣ y − y0 ⎦

Un polinomio de primer orden:

f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) +

∂f ( x , y )
∂f ( x , y )
[ x − x0 ] +
[ y − y0 ] + r1
∂x
∂y
0

0

0

0

Ejemplo.
Sea

f ( x, y ) = sen ( x + 2 y ) . Hallar el polinomio de Taylor de Primer orden en la

vecindad de ( 0, 0 ) .
SOLUCIÓN:
En este caso tenemos:
∂f ( 0, 0 )
∂f ( 0, 0 )
[ x − 0] +
[ y − 0] + r1
∂x∂y
Las derivadas parciales, serian:
∂f ( 0, 0 )
= cos ( x + 2 y )( 0,0) = 1
∂x
∂f ( 0, 0 )
= 2 cos ( x + 2 y )( 0,0) = 2
∂x
f ( x, y ) = f ( 0, 0 ) +

sen ( x + 2 y ) = 0 + 1[ x ] + 2 [ y ] + r1

4.1.1 Polinomio de Taylor de segundo orden.
Para funciones de una variable el polinomio de Taylor de segundo orden
es:

f ( x ) = f ( x0 ) + f ´( x0 ) [ x − x0 ] +

1
2
f ´´( x0 ) [ x − x0 ] + r2
2

131Extremos de Funciones Escalares

MOISES VILLENA

Haciendo analogía para funciones de varias variables, deberíamos utilizar
n
matrices diferenciales y vectores de
.

1
T
f ( x ) = f ( x 0 ) + ⎡⎣ Df ( x0 ) ⎤⎦ [ x − x0 ] + [ x − x0 ] ⎡⎣ D ( Df ( x 0 ) ) ⎤⎦ [ x − x0 ] + r2
2
donde D

( Df ( x ) )
0

seria la matriz diferencial de la matriz diferencial, es

decir la matriz de segunda derivadas, la cual sela denomina matriz
Hessiana, se la denota por

H( f )

⎡ f x1x1
⎢
⎢ f x2 x1
⎢f
xx
H( f )=⎢ 31
⎢ fx x
⎢ 41
⎢
⎢f
⎣ xn x1
Si

f

y se la define de la siguiente manera:

f x1x2

f x1x3

f x2 x2

f x2 x3

f x3 x2

f x3 x3

f x4 x2

f x4 x3

f xn x2

f xn x3

es una función de dos variables, la matriz Hessiana sería:

⎡ f xx
H ( f ( x, y ) ) = ⎢
⎣ f yx
Si

f

f x1xn ⎤
⎥
f x2 xn ⎥
f x3 xn ⎥
⎥
f x4 xn ⎥⎥
⎥
f xn xn ⎥⎦

f xy ⎤
f yy ⎥⎦

es una función de tres variables, la matriz Hessiana sería:

⎡
⎢ f xx
H ( f ( x, y , z ) ) = ⎢ f yx
⎢
⎢ f zx
⎣

f xy
f yy
f zy

⎤
f xz ⎥
f yz ⎥
⎥
f zz ⎥
⎦

Bien, el polinomio de Taylor de segundo orden para funciones de dos
variables seria:

⎡ ∂f
f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + ⎢
⎣ ∂x

⎡ x − x0 ⎤ 1
∂f ⎤
⎢
⎥ + [ x − x0
⎥
∂y ⎦ ( x0 , y0 ) ⎣ y − y0 ⎦ 2

⎡ f xx
y − y0 ] ⎢
⎣f yx

f xy ⎤
⎡ x − x0 ⎤
⎥
⎢ y − y ⎥ + r2
f yy ⎦
0⎦
( x0 , y0 ) ⎣

Ejemplo.
Sea f ( x, y ) = e

3x+2 y

. Hallar el polinomio de Taylor de segundo orden en la vecindad

de ( 0, 0 )
SOLUCIÓN:
En este caso tenemos
f ( x, y ) = f ( 0, 0 ) + ⎡⎣ f x

132

f y ⎤⎦

( 0,0)

⎡x⎤ 1
⎢ y⎥ + 2 [ x
⎣ ⎦

⎡ f xx
y] ⎢
⎣ f yx

f xy ⎤
f yy ⎥⎦

⎡x ⎤
⎢ y ⎥ + r2
( 0,0 ) ⎣ ⎦

Extremos de Funciones Escalares

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Las derivadas parciales de primer orden serian:

f x ( 0, 0 ) = 3e3 x + 2 y

( 0,0 )

=3

f y ( 0, 0 ) = 2e3 x + 2 y

( 0,0 )

=2

Las derivadas parciales de segundo orden serian

f xx ( 0, 0 ) = 9e3 x + 2 y

( 0,0 )

f xy ( 0, 0 ) = 6e3 x + 2 y

( 0,0 )

f yy ( 0, 0 ) = 4e3 x + 2 y

( 0,0 )

=9
= 6 = f yx ( 0, 0 )

=4

Reemplazando y resolviendo:

⎡x ⎤ 1
f ( x, y ) = 1 + [ 3 2 ] ⎢ ⎥ + [ x
⎣y⎦ 2

⎡9 6 ⎤ ⎡ x ⎤
y] ⎢
⎥ ⎢ ⎥ + r2
⎣6 4⎦ ⎣ y ⎦
⎡x⎤
1
f ( x, y ) = 1 + 3 x + 2 y + [9 x + 6 y 6 x + 4 y ] ⎢ ⎥ + r2
2
⎣ y⎦
1
( 9 x 2 + 6 xy + 6 xy + 4 y 2 ) + r2
2
9
f ( x, y ) = 1 + 3 x + 2 y + x 2 + 6 xy + 2 y 2 + r2
2

f ( x, y ) = 1 + 3 x + 2 y +

La formula de Taylor de segundo orden puede ser usada en forma directa:
⎡ ∂f
f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + ⎢
⎣ ∂x

⎡ x − x0 ⎤ 1
∂f ⎤
⎢
⎥ + [ x −...