40 Practica5

Pr´
actica 5
M´
etodo de Newton
5.1.

Introducci´
on

En esta pr´actica damos al alumno un gui´on y una relaci´on de referencias para que con su
trabajo personal, que estimamos de 6 horas, realice un peque˜
no estudio e investigaci´on que
le permita dominar los fundamentos b´asicos del M´etodo de Newton para el c´alculo de ceros
de funciones derivables.
Es muy recomendable que el alumno estudie yhaga los ejemplos de aplicaci´on del m´etodo
que se dan en esta pr´actica porque ser´an objeto de examen en el control asociado a esta
pr´actica. Con la asimilaci´on correcta de los contenidos escritos que aqu´ı se exponen queda
garantizada, al menos, la superaci´on del 80 % de los contenidos del control.

5.2.

Enunciado del problema

Nos planteamos la resoluci´on de la ecuaci´on
f (x) = 0;

x ∈[a, b]

de la que, por simplicidad, suponemos que f : [a, b] → R es una funci´on derivable tres veces.

5.3.

Funcionamiento del m´
etodo de Newton

El m´etodo de Newton est´a basado en el uso de una l´ınea tangente como aproximaci´on de
f (x) cerca de los puntos donde el valor de la funci´on es cero:
1. Se escoge una primera aproximaci´on x0 ∈ [a, b] de la soluci´on a la ecuaci´on.
2. Se calculala siguiente aproximaci´on x1 utilizando la f´ormula de recurrencia:
xn+1 = xn −

f (xn )
f (xn )

(5.1)

3. Si |xn − xn+1 | es menor que nuestra tolerancia al error; entonces xn+1 es una soluci´on
de la ecuaci´on. De otra forma se pasar´ıa de nuevo al punto anterior.
39

´
´
PRACTICA
5. METODO
DE NEWTON

40

5.4.

Interpretaci´
on geom´
etrica del m´
etodo

En lugar de resolver la ecuaci´on f(x) = 0 resolvemos la ecuaci´on tx0 (x) = 0 para tx0
la recta tangente a f en una aproximaci´on x0 . Si x1 es la soluci´on de la ecuaci´on tx0 = 0
continuamos con el proceso: de la soluci´on de tx1 = 0 obtenemos x2 y as´ı sucesivamente. En
definitiva, obtenemos la soluci´on de f (x) = 0 como el l´ımite de la sucesi´on {xn }:
x0

x1

x2

Figura 5.1: Interpretaci´on geom´etrica del M´etodo de NewtonPara obtener x1 a partir de x0 hemos de resolver la ecuaci´on f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) = 0.
f (x0 )
Esta ecuaci´on se resuelve f´acilmente teniendo x1 = x0 −
lo que justifica la f´ormula
f (x0 )
(5.1) anterior.

5.5.

El primer ejemplo de Newton

Figura 5.2: P´agina de De Analysi donde Newton expone su m´etodo.

´
´
5.6. LA CONVERGENCIA DEL METODO
ES CUADRATICA

41

El primer ejemplo de Newtonaparece en su libro ‘De Analysi’. Aqu´ı, estudia la ecuaci´on
y − 2y − 5 = 0. Comprueba que la soluci´on est´a cerca de y = 2. Luego sustituye y = 2 + p,
para obtener p3 + 6p2 + 10p − 1 = 0. Como p es peque˜
no, elimina p3 + 6p2 de la ecuaci´on para
llegar a 10p−1 = 0, de donde aproximadamente es p = 0.1. Por tanto ser´ıa y = 2.1, esta es la
primera aproximaci´on de la ra´ız. Ahora toma p = 0.1+qy sustituye p en la ecuaci´on anterior
para llegar a q 3 + 6.3q 2 + 11.23q + 0.061 = 0. Otra vez desecha los t´erminos q 3 + 6.3q 2 para
de 11.23q + 0.061 = 0 obtener aproximadamente q = −0.0054, de donde ahora y = 2.0946,
y as´ı sucesivamente.
¿Puedes reconocer el m´etodo de Newton tal como ahora lo explicamos de estos c´alculos?
3

Esta secci´on est´a sacada de la p´agina web del Prof.Bartolom´e Barcel´o: http://www.uam
.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/cnumerico/recursos/newton.html

5.6.

La convergencia del m´
etodo es cuadr´
atica

Si f (x) = 0 posee una soluci´on en [a, b] y f (x) = 0 en [a, b], entonces, la convergencia
del m´etodo de Newton es cuadr´atica. Con precisi´on se verifica:
Teorema 5.1 Sea f : [a, b] → R una funci´on tres veces derivable de la que sabemos que
existe unasoluci´on r de la ecuaci´
on f (x) = 0 y tal que su primera derivada no es cero en
ning´
un punto de [a, b]. Si el error cometido al aproximar r por x0 es δ; entonces, el error
M 2
cometido al aproximar r por x1 es menor que
δ para M el m´aximo de |f | en [a, b] y
2m
m el m´ınimo de |f | en [a, b].
´ n: Teniendo en cuenta el desarrollo de Taylor de f en el punto x0 , se verifica:
Demostracio
1...