40 Practica8

Pr´
actica 8
Din´
amica de las Ca´ıdas
8.1.

Ca´ıda vertical en un medio resistente

Consideramos una part´ıcula P de masa m sumergida en un fluido resistente al movimiento. Las fuerzas aplicadas sobre dicha part´ıcula son: la fuerza de la gravedad Fg , la fuerza
de resistencia Fr que opone el medio al movimiento y el empuje E ejercido por el fluido
desalojado por P . Si denotamos por j al vectorunitario de sentido vertical hacia arriba, por
m la cantidad de masa del fluido desalojada por P y por v la velocidad de P ; entonces,
Fg = −mg j, E = m g j y Fr es opuesto a v y proporcional a v si el r´egimen del movimiento
se supone laminar, es decir suave y sin remolinos, o Fr es proporcional a v 2 si el r´egimen de
la ca´ıda se supone turbulento. En una ca´ıda vertical, todas las fuerzasintervinientes sobre P
son verticales y su balance est´a dado por la igualdad vectorial:

m

dv
j = F = Fg + E + Fr = (−mg + m g − kv|v|r−1 ) j = (−g(m − m ) − kv|v|r−1 ) j (8.1)
dt

donde la potencia r es igual a 1 si el r´egimen del movimiento es laminar, e igual a 2 si el
r´egimen es turbulento y donde la constante k es denominada factor de proporcionalidad de
la resistencia.
De aqu´ı se deduce laecuaci´on general de las ca´ıdas verticales en un medio resistente
m
k
ρ
k
dv
= −g(1 −
) − v|v|r−1 = −g(1 − ) − v|v|r−1
dt
m
m
ρ
m

(8.2)

donde ρ , ρ denotan las densidades del fluido y de P respectivamente y donde suponemos
ρ < ρ.
Para a = g(1 − ρ /ρ), b = k/m y vt = −(a/b)1/r = − (mg/k)1/r (1 − ρ /ρ)1/r , la ecuaci´on
diferencial anterior se expresa dv/dt = −a − bv|v|r−1 o equivalentemente:dv
dv
= −a dt
= dt ⇔
b
r−1
−a − bv|v|
1 + a v|v|r−1

(8.3)

deduci´endose las siguientes expresiones, c y d constantes, para la velocidad v y la altura h
del movimiento de la part´ıcula:
67

´
´
PRACTICA
8. DINAMICA
DE LAS CA´IDAS

68
Ca´ıda laminar:
v + bv = −a
hG (t) = d +

⇔ vG (t) = −a/b + c e−t b = vt + c e−t k/m
c m −t k/m
vG (t) dt ⇔ hG (t) = d + vt t −
e
k

(8.4)

Subida turbulenta:

 vG(t) =

√
a/b
tg(c
−
t
ab) = vt tg(c − t vt k/m)
dv
m
= −a dt ⇔
 hG (t) = d + k ln | cos(c − t vt k/m)|
1 + (v b/a)2
(8.5)
Ca´ıda turbulenta:
√
a/b th(c − t ab) = vt th(c − t vt k/m)
m
hG (t) = d −
ln | ch(c − t vt k/m)|
k
´o
√
vG (t) = a/b cth(c − t ab) = vt cth(c − t vt k/m)
m
hG (t) = d −
ln | sh(c − t vt k/m)|
k
(8.6)

vG (t) =
dv
1 − (v

∗

b/a)2

= −a dt ⇔

donde
vt = l´ım vG (t) = −
t→+∞mg
k

1/r

1−

ρ
ρ

1/r

recibe el nombre de velocidad terminal de la part´ıcula P y donde th, cth son las funciones
tangente y cotangente hiperb´olicas.
Es importante observar que vG = vt precisamente cuando el balance de fuerzas actuantes
es cero, en cuyo caso y como es l´ogico, la part´ıcula describe un movimiento rectil´ıneo uniforme. Desde el punto de vista matem´atico, enunciar´ıamos loanterior diciendo que vt es la
u
´nica constante que es soluci´on de la ecuaci´on diferencial de las ca´ıdas.
Haciendo u = v
√
− ab dt =

b/a justificamos la equivalencia ∗ ya que:
√
du
⇔
c
−
t
ab =
1 − u2

du
=
1 − u2

arcth(u) si |u| < 1
arccth(u) si |u| > 1

y de aqu´ı obtenemos la f´ormula de vG dada en (8.6).

8.2.

Elementos necesarios

En la primera l´ınea cargamos los elementos de dibujo, lasegunda instrucci´on nos permitir´a dibujar campos:
>

with(plots):

with(DEtools):

>

macro(kk=(thickness=3,color=black,labels=["Tiempo, t",""]));
kk

8.3. CA´IDA DE UNA GOTA DE LLUVIA

8.3.

69

Ca´ıda de una gota de lluvia

Pr´
actica A Una gota de agua situada en una nube a 3000 [[m]] de altura comienza a
caer. Sabiendo que su masa es 0.05 [[g]] y que el factor de resistencia con el aire es5.5 · 10−5 [[kg/s]], se pide:
1. Determinar la ecuaci´on del movimiento de la gota de agua.
2. Determinar la velocidad terminal del movimiento.
3. Obtener la representaci´on gr´afica de la velocidad v y de la altura h en funci´on del
tiempo.
4. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo.
5. Comprobar que para t > 5 el movimiento de la gota de agua es, en la pr´actica,
indistinguible de un...