529915727 ECUACIONES DIEFERENCIALES EXACTAS RODER













Lecci´on 3







T´ecnicas anal´ıticas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Ecuaciones Exactas y Cambios de
Variables









3.1. Ecuaciones Exactas


Las ecuaciones exactas est´an relacionadas con las llamadas diferenciales exactas, o mejor, con la existencia de campos conservativos. Recordemos este concepto. Sabemos que una forma de escribir laecuaciones diferenciales de primer orden es:

M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0,

as´ı que con cada ecuaci´on diferencial de primer orden podemos asociar un campo vectorial:
F~ (t, x) = (M (t, x), N (t, x)). Por otra parte, dada una funci´on escalar f : R2 → R, el gra-
diente de esta funci´on ~ f (t, x) = ¡ ∂f (t, x), ∂f (t, x)¢ es un campo vectorial. La cuesti´on es
∇ ∂t∂x
cu´ando un campo vectorial F~ (t, x) = (M (t, x), N (t, x)) es el gradiente de una funci´on escalar
f ; es decir, cu´ando

∂f
(t, x) = M (t, x) y
∂t

∂f
(t, x) = N (t, x).
∂x



Los campos vectoriales que son gradientes de alguna funci´on escalar f se llaman campos conservativos y a la funci´on f se le llama funci´on de potencial del campo vectorial.

Ahora tenemos lasiguiente definici´on:



Definici´on 3.1 La ecuacion

M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0

se dice que es exacta si el campo vectorial F~ (t, x) = (M (t, x), N (t, x)) es conservativo.



Esta definici´on no es muy u´til a la hora de saber cu´ando una ecuaci´on concreta es exacta o no; necesitamos una caracterizaci´on de cu´ando un campo es conservativo en funci´on de las funciones M y N .Tal caracterizaci´on no es sencilla porque no s´olo depende de las funciones componentes M y N sino tambi´en de la regi´on del plano R2 donde dichas funciones est´en definidas. Nuestras ecuaciones diferenciales ser´an lo suficientemente simples como para que el campo de definici´on de las funciones M y N no suponga un problema mayor. El siguiente teorema, que se da sindemostraci´on, caracteriza los campos conservativos definidos en rect´angulos de R2 (debe entenderse que todo el plano R2 es un caso especial de rect´angulo).



Teorema 3.2 .- Sea F~ (t, x) = (M (t, x), N (t, x)) un campo vectorial tal que las funciones M y N son continuas y admiten derivadas continuas en un rect´angulo R del plano. Entonces F~ (t, x) es conservativo si y s´olo si
∂M
(t, x) =
∂x
∂N∂t (t, x) para todo (t, x) ∈ R


As´ı que podemos dar la siguiente caracterizaci´on de las ecuaciones diferenciales exactas:


Teorema 3.3 .- La ecuacion diferencial

M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0

es exacta en el rectangulo R del plano si y s´olo si
∂M
(t, x) =
∂x
∂N
∂t (t, x) para todo (t, x) ∈ R. (3.1)


Ejemplo 3.4 .- Veamos algunos ejemplos



1.Veamos si la siguiente ecuaci´on es o no exacta

(3t2 + 6tx2) dt + (6t2x + 4x3) dx = 0

En este caso M (t, x) = 3t2 + 6tx2 y N (t, x) = 6t2x + 4x3 . Ambas son diferenciables con continuidad en todo R2 por ser polinomios. Para saber si la ecuaci´on es exacta podemos utilizar el criterio de (3.1):
∂M
= 12tx
∂x
∂N
= 12tx
∂t

as´ı que la ecuaci´on es exacta.

2. Consideremos la ecuaci´on:(sen(xy) + xy cos(xy)) dx + (x2 cos(xy)) dy = 0 y veamos si es o no exacta.
De nuevo M (x, y) = sen(xy) + xy cos(xy) y N (x, y) = x2 cos(xy) son funciones diferen- ciables con continuidad en todo R2 y podemos utilizar el criterio de (3.1) para saber si la ecuaci´on es o no exacta:

∂M
= x cos(xy) + x cos(xy) x2y sen(xy) = 2x cos(xy) x2 y sen(xy), y
∂y

∂N
= 2x cos(xy) x2ysen(xy)
∂x

as´ı que la ecuaci´on es exacta.


Para obtener la soluci´on general de una ecuaci´on diferencial exacta utilizaremos el si- guiente resultado:


Teorema 3.5 .- Supongamos que la ecuaci´on diferencial

M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0 (3.2)

es exacta en un rectangulo R del plano, y sea f una funci´on de potencial del campo...