6IntegracionDefinida Ejerc

Tema 6
Integraci´
on Definida
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1 Calcular la integral definida
2
1

ln |x|dx

Soluci´
on: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln |x| y dv =
dx, entonces
1
u = ln |x| ⇒ du = dx
x
dv = dx ⇒ v = x
y por tanto
2
1

2

ln |x|dx = [x ln |x|]21 −

dx
1

= 2 ln 2 − (2 − 1) = 2 ln 2 − 1

Ejercicio 2 Calcular la integral
1
0

√
x 1 − x2 dx

Soluci´
on: Estaintegral se resuelve por cambio de variable. Si hacemos
u = 1 − x2 obtenemos que du = −2x dx. Adem´as como para x = 0 tenemos
que u = 1 y para x = 1 que u = 0, resulta que
1
0

√

x 1−

x2

0

dx =

u
1

1/2

1
1
− du =
2
2
1

1

u
0

1/2

1 u3/2
du =
2 3/2

1

=
0

1
3

2

TEMA 6.

Ejercicio 3 Calcular la integral
5
3

5x + 4
dx
x2 + 3x − 10

Soluci´
on: Es la integral de una funci´on racional, as´ıque en primer lugar
debemos descomponer la funci´on racional en suma de fracciones simples.
Si calculamos la ra´ıces de x2 + 3x − 10 = 0 obtenemos que son x = 2 y
x = −5. De ese modo tenemos que
x2

5x + 4
A
B
=
+
+ 3x − 10
x−2 x+5

por lo que
5x + 4 = A(x + 5) + B(x − 2) = (A + B)x + (5A − 2B)
y, por tanto A y B son la soluci´on del sistema
5A − 2B = 4

A + B = 5,
es decir,
A = 2,

B=3

De estemodo tenemos que
x2

5x + 4
2
dx =
dx +
+ 3x − 10
x−2
= 2 ln |x − 2| + 3 ln |x + 5| + C

3
dx
x+5

y aplicando la Regla de Barrow, obtenemos
5
3

5x + 4
dx = [2 ln |x − 2| + 3 ln |x + 5|]53
+ 3x − 10
= 2 ln 3 + 3 ln 10 − 2 ln 1 − 3 ln 8 = 2 ln 3 + 3 ln |5/4|

x2

Ejercicio 4 Calcular el a´rea comprendida entre la curva f (x) = sen x cos x,
el eje de coordenadas y las rectas x = 0 y x = π.
Soluci´
on:Sabemos que el a´rea que nos piden viene dada por
π

A=
0

| sen x cos x|dx

3
Entre x = 0 y x = π la funci´on sen x se anula en x = 0 y x = π, y cos x
se anula en x = π/2. Por tanto sen x cos x se anula en x = 0, x = π/2 y
x = π. Entre x = 0 y x = π/2 es f (x) ≥ 0 (pues sen x ≥ 0 y cos x ≥ 0) y
entre x = π/2 y x = π tenemos que f (x) ≤ 0 (pues sen x ≥ 0 y cos x ≤ 0).
En consecuencia obtenemosque
π

A=
0

| sen x cos x|dx =

π/2
0

sen x cos x dx −

π

sen x cos x dx
π/2

Aplicando el m´etodo de cambio de variable: si hacemos u = sen x, entonces du = cos x dx, por lo que sen x cos x dx = u du. Adem´as para x = 0
se tiene u = 0, para x = π/2 es u = 1 y para x = π es u = 0, por lo que
1

A=
0

0

u du −

1

u du = 2
1

u du = 2
0

1 2
u
2

1

=1
0

Ejercicio 5 Calcular el a´reacomprendida entre f (x) = x3 − 3x y g(x) =
−2x.
Soluci´
on: En primer lugar calculemos los puntos de corte entre y = f (x) e
y = g(x).
x3 − 3x = −2x ⇔ x3 − x = 0 ⇔ x(x2 − 1) = 0 ⇔ x(x − 1)(x + 1) = 0
por lo que los puntos de corte son x = 0, x = −1 y x = 1. Claramente
f (x) ≥ g(x) entre x = −1 y x = 0, y adem´as f (x) ≤ g(x) entre x = 0 y
x = 1. Por tanto
1

A =
=

−1
0
−1

|f (x) − g(x)|dx =
(x3 − x)dx +1
0

0
−1

[f (x) − g(x)]dx +

(x − x3 )dx =

1
0

1 4 1 2
x − x
4
2

[g(x) − f (x)]dx

0
−1

+

1 2 1 4
x − x
2
4

1
0

1 1 1 1
1
= − + + − =
4 2 2 4
2
Ejercicio 6 Calcular el a´rea bajo la curva y = e−x , entre x = 0 y x = b
(b > 0). ¿Qu´e ocurre cuando b → +∞?
Soluci´
on: Puesto que e−x ≥ 0 para todo x, tenemos que el a´rea entre x = 0
y x = b es
b

A(b) =
0

e−x dx = −e−x

b
0

= 1 − e−b

4TEMA 6.
Cuando b → +∞ tenemos
lim A(b) = 1 − lim e−b = 1

b→+∞

b→+∞

Ejercicio 7 Calcular el a´rea encerrada por la elipse de ecuaci´on
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
Soluci´
on: Es claro que, dada la simetr´ıa de la figura, en el cuadrante positivo
(x ≥ 0, y ≥ 0) se encuentra la cuarta parte del a´rea total. Si en esta parte
despejamos la y de la ecuaci´on de la elipse, obtenemos que
y =b 1−

x
a

2

Estacurva corta al eje de abscisas en x = a, por lo que el a´rea buscada
es
x 2
dx
a
0
Si ahora hacemos el cambio x = a sen t, tenemos que dx = a cos t dt, y
adem´as cuando x = 0 se tiene t = 0, y cuando x = a es t = π/2. Por tanto
a

A=4

π/2

A = 4
0

b 1−

√
b 1 − sen2 t a cos t dt = 4ab

π/2

= 4ab

π/2

√

cos2 t cos t dt

0

cos2 t dt

0

Teniendo en cuenta que
cos2 t =

1 + cos 2t
2

obtenemos...