9Analisis Combinatorio A

MATEMATICA GENERAL 10.052, HERALDO GONZALEZ S.

4.4 ANALISIS COMBINATORIO
Podemos considerar el análisis combinatorio como el conjunto de
procedimientos y técnicas que nos permite determinar el número de subconjuntos que
pueden formarse a partir de un conjunto dado, de acuerdo a ciertas instrucciones.
Estas deben indicar claramente como se diferencian dos subconjuntos entre si,
de acuerdo a:
- lanaturaleza de los elementos
-

el orden de los elementos

Realizaremos el análisis combinatorio sin repetición, es decir, cada elemento
debe aparecer una única vez en cada subconjunto.

4.4.1 PRINCIPIO DEL ANALISIS COMBINATORIO
Si un evento, hecho o suceso se realiza de “n” formas distintas y otro
evento, independiente del anterior, se realiza de “r” formas distintas entonces, los
dos eventos serealizan, conjuntamente, de “nr” formas distintas.

Observación.
Al Principio del Análisis Combinatorio también
Multiplicativo.

se le llama Principio

Ejemplo.
Si entre dos ciudades A y B existe una línea de buses que las une y que
dispone de 10 máquinas en uso ¿De cuántas maneras una persona puede ir de A a B u
volver en un bus distinto?
Solución.
Como ir de A a B se puede realizar de 10 manerasdistintas y volver de B a A
de puede hacer de 9 otras formas distintas entonces, realizar el viaje completo, en las
condiciones planteadas, se realiza de 10 ˜ 9 90 maneras

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FACULTAD DE CIENCIA – DEPTO. DE MATEMATICA Y C.C.
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4.4.2 FACTORIAL DE UN NUMERO
Definición.
Sea n  N ‰ ^0` . Definimos el factorialde n, denotado n ! , que se lee
“factorial de n” como:
si n 0
­1
n! ®
¯n ˜ (n  1) ! si n t 1
Ejemplo.
4 ! 4 ˜ 3 ! 4 ˜ 3 ˜ 2 ! 4 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 1! 4 ˜ 3 ˜ 2 ˜ 1 ˜ 1 24
Observación.
Es inmediato notar que n ! n(n  1)(n  2) ˜ .... ˜ 3 ˜ 2 ˜ 1
Ejemplos.
1) Determine

x!
( x  2) !

Solución.
x!
( x  2) !

x( x  1)( x  2) !
( x  2) !

2) Solucione la ecuación

x( x  1)

( x  1) !  2( x  1) !
13x !  ( x  1) !

Solución.
( x  1) !  2( x  1) !
( x  1) !  2( x  1) x( x  1) !
13 Ÿ
13
x !  ( x  1) !
x( x  1) !  ( x  1) !
Ÿ

( x  1) ! >1  2 x( x  1)@
13
( x  1) ! ( x  1)

Ÿ

1  2 x( x  1)
13
x 1

Ÿ 2 x 2  11x  14 0
­
° x1
®
°¯ x 2

7
2
2

Naturalmente que la solución es x

2

Ÿx

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4.4.3 VARIACIONES
Sea A un conjunto con n elementos, llamamos variación de orden k ,
k d n , a todo subconjunto ordenado de A que tenga k elementos
Observación.
Dos variaciones de orden k son diferentes tienen, al menos un elemento
distinto o, si teniendo los mismos elementos, estos están en distinto orden
El número total de variaciones deorden k que se puede formar, seleccionado
los elementos de un conjunto que tiene n elementos se denota V (n, k ) o Vnk

Proposición.
El número de variaciones V (n, k ) es V (n, k )

n!
(n  k ) !

Demostración.
El primer lugar de la k-upla se puede llenar de n formas distintas
El segundo lugar de la k-upla se puede llenar de n  1 formas distintas
El tercer lugar de la k-upla se puede llenar de n  2formas distintas
...
...
El k-ésimo lugar de la k-upla se puede llenar de n  (k  1) formas distintas
Usando el Principio Multiplicativo, llenar los k lugares de la k-upla se puede
realizar de n ˜ (n  1) ˜ (n  2) ˜ ... ˜ n  (k  1)  formas, ahora:
V (n, k )

n ˜ (n  1) ˜ (n  2) ˜ ... ˜ n  (k  1)  ˜

(n  k ) ˜ (n  k  1) ˜ ..... ˜ 3 ˜ 2 ˜1
(n  k ) ˜ (n  k  1) ˜ ..... ˜ 3 ˜ 2 ˜1

n˜ (n  1) ˜ ... ˜ n  (k  1)  ˜ (n  k ) ˜ (n  k  1) ˜ ..... ˜ 3 ˜ 2 ˜ 1
(n  k ) ˜ (n  k  1) ˜ .... ˜ 3 ˜ 2 ˜ 1

n!
(n  k ) !

Ejemplo.
¿Cuántas palabras de 3 letras se puede formar usando las letras a, b, c, d ?
Solución.
Como el orden de las letras en cada palabra interesa entonces estamos frente a
4!
variaciones y la respuesta es: V (4,3)
24
(4  3) !

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