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República bolivariana de Venezuela
Ministerio del p.p.p la educación
Algebra lineal








Transformaciones lineales





Profesora ; alumnos:
SalvatoreJonathan morillo
Luis olivares
Miguel Solórzano
Hennyer mijares

1)
Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal.
Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.
Auto-valor
En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de unoperador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor.
Matemáticamente, vλ es un vector propio y λ el valor propio correspondiente de una transformación T si verifica la ecuación:
.
Donde T(vλ) es elvector obtenido al aplicar la transformación T a vλ.
Supóngase que T es una transformación lineal (lo que significa que para todos los escalares a, b, y los vectores v, w). Considérese una base en ese espacio vectorial. Entonces, T y vλ pueden representarse en relación a esa base mediante una matriz AT y un vector columna vλ—un vector vertical unidimensional. La ecuación de valor propio en estarepresentación matricial se representa de la siguiente forma:

álculo de los valores propios
Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el polinomio característico: decir que λ es un valor propio de A es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones lineales A v = λ v → A v - λ v = 0 (factorizando por v queda) (A - λI) v = 0 (donde I es la matriz identidad)tiene una solución no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente al determinante:

La función p(λ) = det(A - λI) es un polinomio de λ pues los determinantes se definen como sumas de productos. Éste es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico.
Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularseresolviendo la ecuación.
Si A es una matriz n×n, entonces tiene grado n y A tiene como máximo n valores propios.
El teorema fundamental del álgebra dice que esta ecuación tiene exactamente n raíces (ceros), teniendo en cuenta su multiplicidad. Todos los polinomios reales de grado impar tienen un número real como raíz, así que para n impar toda matriz real tiene al menos valor propio real. En el caso de lasmatrices reales, para n par e impar, los valores propios no reales son pares conjugados.
Cálculo de los vectores propios
Una vez que se conocen los valores propios λ, los vectores propios se pueden hallar resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo:

Una forma más sencilla de obtener vectores propios sin resolver un sistema de ecuaciones lineales se basa en el teorema de Cayley-Hamilton queestablece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico. Así, si son los valores propios de A se cumple que

por lo que los vectores columna de son vectores propios de .

Por ejemplo:
Calcular valores y vectores propios de:
A= talque A representa un operador lineal R2 → R2.
Solución:
Primero se calculan los valores propios:


- =0

= 0

(4-)(-3-) + 10= 0
λ2- λ- 2 =0λ1= 2
λ2= -1
Con lo cual obtenemos dos valores propios: λ1= 2 y λ2= -1
Buscamos ahora un vector propio:
Entonces:
Para λ1= 2
(A-I)=0
= 0
* =













2) Interpretación grafica

Sea la transformación lineal T: R2 → R2 definida por:

Se quiere analizar si existen vectores x (distintos del nulo) que al aplicarle la transformación T no...