Ajuste lineal de datos

Ajuste lineal de datos

OBJETIVO GENERAL

• Presentar el estudiante el concepto de curva de mejor ajuste y el método de regresión lineal por mínimos cuadrados

Objetivos Específicos

• Introducir al estudiante al análisis de curvas de ajuste
• Presentar métodos cuantitativos que justifiquen un ajuste lineal de datos
• Aprender a hacer los ajustes en Excel.

MarcoTeórico

Siempre que se lleva a cabo un experimento, lo que se desea de él en última instancia es poder obtener conclusiones que sean aplicables en el futuro, en condiciones similares. Es decir: deseamos del experimento, de manera que podamos “predecir” qué resultados se obtendrían si se realiza el experimento de nuevo en condiciones semejantes a la primera vez.
La forma como se organicen los datoses vital para la validez de las “predicciones”. Es también importante tener claro cuáles son los supuestos que permiten hacer ciertas aseveraciones: no todos los modelos son válidos en todo momento. Existen dos predicciones que podemos esperar hacer: interpolaciones y extrapolaciones.
Las interpolaciones son aquellas que llevamos a cabo con datos que se encuentran en el rango de experimentaciónque hemos tenido. La extrapolación asume que el comportamiento de los datos del modelo es válido para datos que no están incluso dentro del rango de valores experimentales.
Para ejemplificar este punto, considérese los datos de la tabla 1:

Tabla Nº1

Datos Experimentales

|Dato |x |y |
|1 |1.5 |2.25 |
|2 |2.1 |4.41 |
|3|2.5 |6.25 |
|4 |2.9 |9.41 |
|5 |3.3 |16.58 |
|6 |3.9 |18.45 |
|7 |4.5 |23.45 |
|8 |5.1 |32.49 |
|9 |5.6 |33.36 |
|10 |5.9 |43.43 |
|11 |6.1 |37.21 |
|12 |6.8 |50.41 |
|13 |7.1 |50.41 |
|14|7.9 |67.41 |
|15 |8.5 |72.25 |
|16 |9.5 |90.25 |
|17 |9.7 |90.09 |
|18 |10.0 |98.06 |
|19 |10.1 |99.45 |

Como se menciono anteriormente, una vez que sean obtenido estos valores se quiere ver qué información puede dar este conjunto de valores que sea útil. Por ejemplo:

1. ¿Qué valor de lavariable x corresponde a un valor [pic]? Esto corresponde a una interpolación, ya que [pic] se halla dentro del rango de valores de la variable:

[pic]

2. ¿Qué valor de la variables y corresponde a un valor [pic]? Esto corresponde a una extrapolación, ya que [pic] no está dentro del rango de valores de la variable:

[pic]

Para establecer la respuesta a cada una de estas preguntases necesario haber establecido de antemano cuál es la relación funcional existente entre ambas variables:

• lineal
[pic]
• cuadrática
[pic]
• potencial
[pic]
• logarítmica
[pic]
• exponencial
[pic]
• etc.

Pero incluso para poder realizar este ajuste necesitamos de antemano contar con un modelo teórico que dé una guía y ayude a justificar lanaturaleza de esta relación.

Ajuste Lineal

Si se decide realizar un ajuste lineal de los datos que se tienen, se debe luego decidir qué método se utilizará para escoger la mejor recta de ajuste.
Convencionalmente lo que se usa es utilizar una recta que minimice las diferencias cuadráticas entre el valor de la variable dependiente y el pronosticado para ella. Si se sigue este método (como partede la teoría de métodos numéricos), se puede demostrar que la pendiente y la intersección de la recta respectiva están dadas por:

[pic]
donde:
m es la pendiente de la recta de mejor ajuste
b es la intersección de la recta de mejor ajuste
N es el número de pares de datos con que se cuenta
[pic] son cada uno de los N pares de datos

Este ajuste permite responder,...