algebra boleana

UNIDAD IV
Algebra
Booleana
Cuando George Boole estudio la relación entre las propiedades de
los conjuntos y la lógica, observo que eran similares a las
propiedades de los números reales.

Propiedades conmutativas:
En lógica: si p y q son proposiciones, entonces p v q ≡ q v p.
si p y q son proposiciones, entonces p ^ q ≡ q^ p.
:
EJEMPLO : Conmutatividad
De Wikipedia, la enciclopedialibre
Ejemplo mostrando la conmutatividad de la adición (3 + 2 = 2 + 3)

Una operación binaria es conmutativa cuando el resultado de la operación es
el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.

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Matemáticas Discretas
Elaborado por: M.C. Elizabeth Santiago Morales

Ingeniería en Informática

Propiedades asociativas:
En lógica: (p v q) v r ≡ p v (q v r)(p ^ q) ^ r ≡ p ^ (q^ r)

EJEMPLO: propiedad asociativa de la suma
Propiedad que establece que cuando se suman tres o más números reales, la suma
siempre es la misma independientemente de su agrupamiento. Esto es,
(a + b) + c = a + (b + c)

Propiedades distributivas:
En lógica: p v (q ^r) = (p v q) ^ (p v r)
p ^ (q v r) = (p ^ q) v (p ^ r)
EJEMPLO: Propiedad distributiva
De Wikipedia,la enciclopedia libre

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma es aquella por la que la
suma de dos o más sumandos, multiplicada por un número, es igual a la suma del producto
de cada sumando con el número. Por ejemplo:

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Ingeniería en Informática

EJEMPLO: propiedad distributiva de lamultiplicación
sobre la suma
La propiedad distributiva establece que multiplicar una suma por un número da el
mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar
todos los productos.
4 × (2 + 3) = 4 × 2 + 4 × 3

Propiedades de idempotencia:
En lógica: p v p ≡ p
p^p≡p

EJEMPLO: Idempotencia
De Wikipedia, la enciclopedia libre

En matemática, la idempotencia es lapropiedad para realizar una acción determinada
varias veces y aún así conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase una
sola vez. Un elemento que cumple esta propiedad es un elemento idempotente, o un
idempotente. De esta manera, si un elemento al multiplicarse por sí mismo sucesivas
veces da él mismo, este elemento es idempotente.

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Propiedades de complementación:
En lógica: p v ~p ≡ V (T)
p ^ ~p ≡ F

Leyes de De Morgan:
En lógica: ~(p v q) ≡ ~p ^ ~ q
~( p ^ q) ≡ ~p v ~q

Propiedades del doble complemento:
En lógica: ~(~p) ≡ p

Leyes de absorción:
En lógica: p v (p ^ q) ≡ p
p ^(p v q) ≡ p

EJEMPLOS:
El valor que puede tomar "a" y "b", pueden
ser"0" y "1" (en otras palabras verdadero o
falso) exclusivamente, para algebra
booleana.

Si a = 0, y b = 1
a + (a . b) = a
0 + (0 . 1) = 0
0 + (0) = 0
0=0
Entonces se cumple que:
a + (a . b) = a

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Si a = 1, y b = 0
a + (a . b) = a
1 + (1 . 0) = 1
1+0=1
1=1
Entonces se cumple que:
a + (a . b) = a

Si a = 0, y b = 0
a + (a . b) = a
0 + (0 . 0) = 0
0+0=0
0=0
Entonces secumple que:
a + (a . b) = a

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álgebra booleana,

En

que

es

álgebra tanto en conjuntos como en la lógica, se usa el signo + en
lugar de
o V, y se usa ● en lugar de
o ^. También, se usa 1
en lugar de V (verdadero), y 0 se usa en lugar de F(falso). El
“1” y el “0” son meros símbolos yno el 1 y el 0 del sistema de los
números reales. Por tanto, un enunciado puede expresar una
propiedad tanto en conjunto como en lógica.

Notación de algebra booleana:
Algebra
booleana

+
●
‘
0
1

5

Lógica

v
^
~
F
V

Conjuntos

Representa

O, OR
(disyunción)

Y, AND
(conjunción)

„

Negación, NOT

Falso
u

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