algebra booleana






ALGEBRA DE BOOLE
DEFINICIÓN:
La herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales es el Álgebra Booleana.
Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas (similares en algunos aspectos al álgebra
Convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basadosen dispositivos de conmutación (interruptores, relevadores, transistores, etc). En este capítulo se presentan los postulados que definen el álgebra booleana, se presentan en forma de teoremas los resultados más importantes, se presentan también los tres ejemplos clásicos de álgebras boolenas (lógica proposicional, álgebra de conjuntos, álgebra de switches) y herramientas básicas comotablas de verdad y diagramas de Venn.


POSTULADOS DEL ÁLGEBRA BOOLEANA

El Álgebra de Boole, fue presentada originalmente por el inglés George Boole, en el año de 1854 en su artículo "An Investigation of the Laws of Thoght ... ", sin embargo, las primeras aplicaciones a circuitos de conmutación fueron desarrolladas por Claude Shannon en su tesis doctoral "Análisis simbólico de los circuitos deconmutación y relés" hasta 1938. A continuación se presentan los postulados fundamentales del álgebra de Boole


Postulado 1. Definición. El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto B, el cual contiene dos o más elementos y entre los cuales se definen dos operaciones denominadas "suma u operación OR" (+) y "producto o multiplicación u operación AND" (), las cualescumplen con las siguientes propiedades:

Postulado 2. Existencia de Neutros. Existen en B el elemento neutro de la suma, denominado
O y el neutro de la multiplicación, denominado 1, tales que para cualquier elemento x de s: (a) x + O = x (b) x. 1 = x
Postulado 3. Conmutatividad. Para cada x, y en B: (a) x+y = y+x (b) xy =yx Postulado 4. Asociatividad. Para cada x, y, z en B: (a) x + (y + z) =(x + y) + z (b) x(yz) = (xy) z Postulado 5. Distributividad. Para cada x, y, z en B:
(a) x+(yz)=(x+y)  (x+z) (b) x(y+z)=(xy)+(xz)

Postulado 6. Existencia de Complementos. Para cada x en B existe un elemento único denotado (también denotado x’), llamado complemento de x tal que







EJEMPLOS DE ÁLGEBRAS DE BOOLE

Existen varios ejemplos, de los cuales se presentan lossiguientes tres clásicos, en los cuales se verifica que se trata de álgebras de Boole, es decir, que se cumple postulado por postulado.


ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

1.- Para este ejemplo el conjunto B es el conjunto de todos los conjuntos a tratar. La suma es la
unión de conjuntos (U) y la multiplicación es la intersección ( ) de conjuntos.

2.- Existencia de neutros. El neutro de la unión es elconjunto vacío , mientras que el neutro de la intersección es el conjunto universo U, ya que para cualquier conjunto arbitrario A, A U = A y AU = A.

3.- Conmutatividad. La unión y la intersección son conmutativas, ya que para cualquier par de conjuntos A, B: A U B = B U A y AB = BA

4.- Asociatividad. La unión y la intersección de conjuntos son asociativas, ya que para cualesquiera tresconjuntos A, B, C: A U (B U C) = (A U B) U C y A(BC) = (AB) C

5.- Distributividad. La unión de conjuntos es distributiva sobre la intersección, y viceversa, la intersección es distributiva sobre la unión, ya que para cualesquiera tres conjuntos A, B, C: A U (B
C) = (A U B) (A U C) y A (B U C) = (AB) U (AC)

6.- Existencia de complementos. El conjunto complemento Ac cumple conlas propiedades deseadas: A U Ac = U y AAc = F


DIAGRAMAS DE VENN

En la siguiente figura se muestran diagramas de Venn para los conjuntos A, B, A U B y AB


A B A B





Conjunto A
Conjunto B



A B A B




Conjunto A U B
Conjunto A B



A continuación se muestra el conjunto A y su complemento Ac.




A A Ac




Conjunto A
Conjunto Ac...