Algebra de boole

Darrera modificació fa 3 mesos per PereBot
Àlgebra de Boole
L'àlgebra de Boole és una branca de les matemàtiques amb propietats i regles similars, tot i que diferents, a les de l'àlgebra ordinària.

Fou creada per George Boole durant el primer quart del segle XIX. Pretenia explicar les lleis fonamentals d'aquelles operacions de la ment humana per les quals es regeixen els raonaments.Posteriorment, aquesta àlgebra fou utilitzada per al disseny de circuits digitals. L'eina bàsica per a l'anàlisi i el disseny de circuits digitals és l'àlgebra booleana. Aquesta àlgebra és un conjunt de regles matemàtiques (similars en alguns aspectes a l'àlgebra convencional), però que tenen l'avantatge de pertànyer al comportament de circuits basats en dispositius de commutació (interruptors, relés,transistors, etc.).

L'àlgebra de Boole té una característica especial: les seves variables només poden adoptar dos valors, tradicionalment denominats cert i fals (normalment representats com a 1 i 0, respectivament). Així doncs, l'àlgebra de Boole maneja valors lògics binaris.

D'altra banda, una àlgebra de Boole és un conjunt B d'elements sobre els quals s'han definit dues operacions +('suma', 'o', 'unió', 'disjunció') i \cdot ('producte', 'i', 'intersecció', 'conjunció') de manera que compleixen els 5 postulats de Huntington.

Taula de continguts
George Boole
Postulats de Hungtington
Funcions booleanes
Altres propietats
Àlgebra de Boole aplicada a la informàtica
Enllaços relacionats
George BooleEdita

George Boole (Lincoln, el Regne Unit, 1815 - Ballintemple, actualIrlanda, 1864) fou un matemàtic britànic. Procedia d'una família vinguda a menys i va haver de descartar la idea de convertir-se en monjo en veure's obligat a mantenir els seus pares. A setze anys ensenyava matemàtiques en un col·legi privat i més tard en va fundar un de propi. A vint-i-quatre anys, després de la publicació del seu primer escrit, va poder ingressar a Cambridge, però va desestimarl'oferta, de nou a causa dels seus deures familiars. El 1849 va ser nomenat professor de matemàtiques del Queen's College, a Cork, on va romandre la resta de la seva vida.

Postulats de HungtingtonEdita

Primer postulat: les operacions són internes:

a+b\in B\qquad a\cdot b\in B \qquad \forall a,b\in B
Segon postulat: existeix un element neutre per a cada operació:

a+0 = a\qquad a\cdot 1 = a\qquad \forall a\in B
Tercer postulat: existeix l'element invers:

a+\overline{a} = 1\qquad a\cdot \overline{a} = 0 \qquad \forall a\in B
Quart postulat: existeix la propietat commutativa:

a+b = b+a\qquad a\cdot b = b\cdot a \qquad \forall a,b\in B
Cinquè postulat: existeix la propietat distributiva:

a\cdot (b+c) = (a\cdot b)+(a\cdot c)\qquad a+(b\cdot c) = (a+b)\cdot (a+c) \qquad\forall a,b,c\in B
Funcions booleanesEdita

Les funcions booleanes es poden representar explícitament en una taula de veritat com la següent, on observem el valor de la funció f en funció de totes les combinacions de les variables a, b i c:

a b c f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
A partir de la taula, podem calcular els termes mínims, que són elsproductes de n literals que prenen el valor 1 quan la funció val 1. En el nostre cas, el nombre de literals és 3 (tenim tres variables), i els termes mínims són:

m_1=\overline{a}\cdot\overline{b}\cdot c
m_3=\overline{a}\cdot b\cdot c
m_5=a\cdot \overline{b}\cdot c
Sumant els termes mínims, obtenim la representació canònica en suma de productes. En el nostre cas:f=\overline{a}\cdot\overline{b}\cdot c+\overline{a}\cdot b\cdot c+a\cdot \overline{b}\cdot c
Aplicant el quart postulat (propietat commutativa):

f=\overline{a}\cdot c\cdot\overline{b}+\overline{a}\cdot c\cdot b+a\cdot \overline{b}\cdot c
I el cinquè postulat (propietat distributiva):

f=\overline{a}\cdot c\cdot (\overline{b}+b)+a\cdot \overline{b}\cdot c
I el segon postulat (element invers):

f=\overline{a}\cdot...