Algebra Lineal

Transformaciones lineales


Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Notación: para señalar una transformación lineal usaremos f (v)=W, donde V y W son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo. Terminología: a las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal. Gráfico:Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio vectorial W, sus elementos son función de los elementos de V V W Sean: V,W: Espacios Vectoriales f v1 w1 v1,v2,v3 Vectores v2 w2 w1,w2,w3 v3 w3


Teorema: Una función f de V en W que asigna a cada vector v , un vector f(v) Є W es una transformación lineal, si y sólo si, α Є K, vi, vj Є V, satisface los A A siguientesaxiomas: 1. f (vi + vj) = f (vi) + f (vj) 2. f (vi) = α.f (vi) Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, entonces se cumple que: 1. f (0v) = 0w 2. f (vi - vj) = f (vi) - f (vj) Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, dimV=n dimV = dimN (f) + dimIm (f)


Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama. f : P(2) R2 (a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2) = (a-b, 2c+a ) Solución: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicación lineal f, obtenemos las imágenes correspondientes a cada vector. V1 (1-x) f (1-x) = (2,1) 2 f (3+x-2x2) = (2,-1) V2 (3+x-2x ) 2 f (0+0x+0x2) = (0,0) V3 (0+0x+0x ) Diagrama: P(2) R2 f (a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (y, z)Núcleo e imagen de una transformación lineal




Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal.
Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es
decir, con la operacion y la accion) de estos espacios.

NÚCLEO ( Nf) DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Sea f: V -> W una transformación lineal de un e.v. V, en un e.vW. El Núcleo de f, (Nf), es el subconjunto del e.v. V que consta de todos los elementos u de V tales que: f (u) = 0w. Esto quiere decir que las imágenes de los vectores de V es el vector nulo del e.v. W.

En forma matemática el Núcleo es igual a: Nf= {u Є e.vV de salida / f (u) = 0w), Donde 0w es el vector nulo del e.v. de llegada W. El Núcleo puede tener varios vectores de V, incluido elvector nulo 0v, o sólo el vector nulo.


IMAGEN O RECORRIDO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Sea f: V -> W es una T.L de un e.vV en un e.v W, entonces el recorrido de f o imagen de V bajo f, denotada por Img f, consta de todos aquellos vectores en W (e.v de llegada) que son imágenes bajo f de vectores en V. Es decir, v está en Img f si podemos hallar algún vector u en V tal que f(u)= w.


En formamatemática la Img f podemos escribirla de la siguiente manera: Imgf = { w Є e.v de llegada / f (u) = w}, donde u es elemento del e.v de salida.La imagen de una T.L puede ser una parte del conjunto de llegada o todo el conjunto de llegada.






















Matriz de una transformación lineal





Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse medianteuna matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.

Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una base {w1, ..., wm}. Entonces cualquier transformación linealde V en W se representa por una matriz A m x n.
Si T (vi ) = ai1 w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 .... aim )T


Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando como espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como...