Algebra Matricial

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO
INTEGRANTES:
IVETTE RAMOS PAUL VALLADARES
SANTIAGO NAULA SHANELA CAMACHO
VERONICA RUIZ

TEMA:ALGEBRA MATICIAL ORIENTADA A GRAFICOS
OBJETIVOS:
Utilizar el álgebra matricial como una herramienta para la manipulación de objetos.
Entender el uso del algebra matricial en computación gráfica
Conocer como el álgebra matricial permite representaciones en2Dy 3D.

Transformaciones 2D
Concepto
Transformación de un punto en otro mediante algoritmo o fórmula
Se usarán en representación 2D y 3D
Usamos vectores fila (x,y,w)
Modo de operación
Se da un rodeo a la transformación directa en el plano cartesiano

ej: (3,2) -> (2,4)
Paso de puntos afines a puntos en coordenadas homogéneas

ej: (3,2) -> (3,2,1)Transformaciones en Pn (traslación, rotación, escala, ...)

ej: (3,2,1) -> (4,8,2)
Paso de puntos en coordenadas homogéneas a puntos afines

ej: (4,8,2) -> (2,4)
No se puede realizar para puntos impropios
Serie de transformaciones se reducirá a producto por una matriz
Transformaciones proyectivas en P2
Forma general: 
Líneas rectas se transforman en líneas rectas
Se mantienen los puntos de intersección
Puntointersección de rectas transformadas es transformado de punto intersección
Secciones cónicas se mantienen como tales
Transformaciones afines en P2
Forma general:  y siendo invertible
Puntos propios se mantienen como propios y los impropios se mantienen como impropios
No se traen ni se llevan puntos al infinito
Rectas paralelas siguen siendo paralelas
Cambio de sistema de referencia
TraslaciónVector de traslación  :
Transformación:

Paso a coordenadas homogéneas

Matriz de transformación:

Transformación inversa (traslación  ) :

Escala centrada en el origen
Transformación:

Paso a coordenadas homogéneas

Matriz de transformación:

Matriz de transformación inversa:

Rotación respecto del origen (ángulo  )
Coordenadas polares :

Transformación:

Matriz detransformación:

Matriz de transformación inversa (rotación de ángulo  ):

Transformación de dos rotaciones es rotación de suma de ángulos

Rotación respecto de cualquier punto
Supongamos centro en (xc,yc) y ángulo  :
Trasladamos centro al origen

Rotamos

Hacemos traslación inversa para dejar centro en posición original

Transformación final

Transformación inversa

Cizalla (shearing)Transformación:

Matriz de transformación:

Matriz de transformación inversa:

Reflexión respecto del eje X
Transformación:

Matriz de transformación:

Las reflexiones son inversas de sí mismas
Recta de puntos fijos (eje de reflexión)
Reflexión respecto de una recta que pasa por el origen
Supongamos que la recta forma un ángulo  con el eje X:
Llevamos recta al eje X (rotación)Reflejamos

Llevamos recta a su posición original

Transformación final

Comprobación

Reflexión respecto de cualquier recta
Supongamos recta de la forma: y=mx+b

Transformación final

Reflexión respecto de un punto
Reflexión respecto del origen

Reflexión respecto de cualquier punto

Proyección ortogonal (paralela) sobre eje X
Transformación

Propiedades
Proyección no tieneinversa
No está definida para todos los puntos (ej: (0,1,0))
Hay recta de puntos fijos (eje sobre el que se proyecta)
Proyección oblicua (paralela) sobre eje X
Según recta de pendiente m 

Matriz de transformación

Proyección perspectiva (no paralela) sobre eje X
Centro de proyección (xc,yc,1) 

Matriz de transformación para cualquier centro (xc,yc,wc):

Proyección oblicua es un casoparticular: (xc,yc,wc)=(1,m,0)
Proyección perspectiva (no paralela) sobre cualquier recta
Centro de proyección (xc,yc,wc) y recta y=mx+b
Transformación

Traslación y rotación vistas más arriba
¡OJO! P'w es la matriz de proyección para el centro de proyección transformado:

Cambio de sistemas de coordenadas
Hacer una operación sobre los ejes coordenadas (trasladar, rotar, ...) equivale...