algebra teorica

CAPITULO 1

ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

1.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Se llama ecuación lineal sobre un campo K, a una expresión de la forma:
a1 x1 + a 2 x 2 + K + a n x n = b

(1)

donde los ai , b ∈ K y los xi son indeterminadas, incógnitas o variables. Los
escalares ai se denominan coeficientes y b es llamado término constante o
independiente de la ecuación. Un conjuntode valores de las incógnitas, por ejemplo:
x1 = k1 , x 2 = k 2 , K , x n = k n
se dice que es una solución de la ecuación (1) si:
a1 k1 + a 2 k 2 + K + a n k n = b
generalmente si no hay ambigüedad acerca de la posición de las incógnitas, se
denotará esta solución como la n-upla S = (k1 , k 2 , K , k n )
NOTA.- En lo que sigue del curso el campo K que se considerará, será el campo de
losnúmeros reales (R) o el campo de los números complejos (C).
Ejemplo.1.- Sea la ecuación

2x − y = 2
una solución para la ecuación es x = 1 e y = 0 ; pues reemplazando estos valores en la
ecuación, ésta se verifica

2(1) x − 0 = 2
Nótese que no son los únicos valores para x e y que satisfacen la ecuación. También si
se considera x = 0 e y = −2 se verifica la ecuación.
El conjunto de todaslas soluciones de la ecuación es llamado conjunto solución de la
ecuación lineal y se obtiene asignando a una de sus variables un valor arbitrario
llamado parámetro y luego despejando la otra variable en términos del parámetro.
Así dando el valor de x = a se tiene y = 2 − 2a .

2

Interpretación geométrica.- La ecuación 2 x − y = 2 representa una recta en el plano

que se denotará por L.En consecuencia, cualquier punto que pertenece a la recta L es
una solución de la ecuación 2 x − y = 2 .
Y

O

L : 2x − y = 2

1

X

-2

Ejemplo.2.- Si se considera la ecuación

x + y + z =1
una solución para la ecuación es x = 1 , y = z = 0 . Otra sería y = 1 , x = z = 0 .
El conjunto solución de la ecuación se obtiene asignando dos parámetros diferentes a
dos de las variables ydespejando la tercera en términos de los parámetros asignados.
Es decir haciendo x = a e y = b se tiene z = 1 − a − b , donde a y b pueden tomar el
valor de cualquier número real.
Interpretación geométrica.- La ecuación x + y + z = 1 representa un plano en el

espacio que se denotará por P. Luego, cualquier punto del plano P es solución de la
ecuación.
Z

P : x + y + z =1
1
Y
O
X1

1

A continuación se definirá un sistema de ecuaciones lineales como una colección
finita de ecuaciones lineales.

3

Se llamará un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x1 , x 2 ,K , x n sobre
el campo K, a una expresión de la forma
a11 x1 + a12 x 2 + K + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + K + a 2 n x n = b2
M
M
M
M
a m1 x1 + a m 2 x 2 + K + a mn x n = bm

(2)donde los ai j , bi ∈ K .
Una forma fácil de resolver un sistema de ecuaciones lineales es haciendo uso del
conocido método de eliminación gaussiana; éste método consiste en reducir un
sistema de ecuaciones lineales a otro equivalente más simple que tiene el mismo
conjunto solución. Para aplicar el método de eliminación hay que tener en cuenta que
el conjunto solución del sistema no sealtera si se realizan cuantas veces sean
necesarias las siguientes operaciones:
1. Intercambiar dos ecuaciones.
2. Multiplicar una ecuación por una constante distinta de cero.
3. Sumar el múltiplo de una ecuación a otra.
Ejemplo 3.- Sea el sistema

2x −

y = 2

+

y = 4

x

(3)

Solución

Multiplicando la segunda ecuación por 2
2x − y = 2
2x + 2 y = 8
multiplicando la primeraecuación por − 1 y luego sumando a la segunda

2x −

y = 2
3y = 6

despejando la variable de la segunda ecuación se tiene

y=2
reemplazando el valor de y = 2 en la primera ecuación se obtiene el valor de
x=2

Luego, x = 2 e y = 2 es la solución del sistema (3). El sistema (3) geométricamente
representa dos rectas en el plano, y resolver simultáneamente el sistema significa
hallar...