algebra




INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MINATITLÁN


INGENIERÍA INDUSTRIAL


ALGEBRA


INVESTIGACIÓN
ESPACIOS VECTORIALES





























Índice


Definición de espacio vectorial
Definición de subespacio vectorial y sus propiedades
Combinación lineal, independencia lineal
Base y dimensiones de un espacio vectorial, cabio de base
Espaciovectorial con producto interno y sus propiedades
Base ortonormal, proceso de ortonormalizacion de gram-schmidt
























ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por unescalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), sus miembros se llaman escalares, con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Proposición 4. Dado un espacio vectorial linealmente independiente y es linealmente independiente.
Teorema de la base de generadoresDEFINICIÓN DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES.

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. W se denomina un subespacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto por un escalar. Un criterio simple para identificar subespacios es el siguiente.

Teorema: supongamos que W es un subconjunto de un espaciovectorial V. entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumple:
1. 0єW
2. W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores u, vєW, la suma u+vєW.
3. W es cerrado bajo el producto por un escalar, esto es: para todo uєW y para todo kєK el múltiplo kuєW.


Corolario: W es un subespacio de V si y solo si:
1. 0єW.
2. au+bvєW para todos los u, vєW y a, bєK.
Ejemplo:sean U y W subespacios de un espacio vectorial V. probemos que la intersección UW es también subespacio de V. claramente, 0U y 0W, porque U y W son subespacios, de donde 0UW. supongamos ahora que u, vUW. entonces u, vU y u, vE y, dado que U y W son subespacios, u+v, kuU y u+v, kuW para cualquier escalar k. así u+v, kuUW y por consiguiente UW es un subespacio de V. El resultado delejemplo precedente se generaliza como sigue.
Teorema: la intersección de cualquier número de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V.
Recuérdese que toda solución de un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas AX=B puede verse como un punto en Kn y por tanto el conjunto solución de tal sistema es un subconjunto de Kn. Supongamos que el sistema homogéneo, es decir,supongamos que el sistema tiene la forma AX=0. Denotemos por W su conjunto solución. Como A0=0, el vector cero 0W además, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0, necesariamente Au=0 y Av=0. Por esta razón, para todo par de escalares a y b en K, tendremos A(au+bv)=aAu+bAv=a0+b0=0+0=0. De esta manera, au + bv es también una solución de AX=0 o, dicho de otro modo, au+bvW. Enconsecuencia, según el corolario, hemos demostrado:

Teorema: el conjunto solución W de un sistema homogéneo con n incógnitas AX=0 es un subespacio de kn.
Hacemos énfasis en que el conjunto solución de un sistema inhomogéneo AX=B no es subespacio de Kn. De hecho, el vector cero, 0, no pertenece a dicho conjunto solución.
COMBINACIÓN LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL
COMBINACION LINEAL.
Sean v1,v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1,a2,…,an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2,…,vn.
Se dice que los vectores v1, v2, …, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismo. Es decir, para todo vÎV, existen escalares a1, a2, …,...