Algebra

Álgebra Recreativa

Yakov Perelman

CAPITULO SÉPTIMO
LA MAGNITUD MAYOR Y LA MENOR

Contenido:
1. Dos trenes
2. ¿Dónde construir el apeadero?
3. ¿Cómo trazar la carretera al embarcadero?
4. ¿Cuándo alcanza el producto su máximo valor?
5. ¿Qué suma será la menor?
6. El tronco de mayor volumen
7. Dos parcelas de tierra
8. La cometa
9. La construcción de una casa
10. La parcela
11. El canalón desección máxima
12. El embudo de mayor capacidad
13. La iluminación más intensa

Los problemas presentados en este capítulo pertenecen a una clase muy interesante;
con ellos se propone hallar el valor mayor o el menor de cierta magnitud. Estos
problemas pueden ser resueltos por diferentes procedimientos, uno de los cuales
exponemos a continuación.
P. Chebyshev, matemático ruso, en su obra "Delineaciónde los mapas geográficos"
escribía que los métodos, que ayudaban a resolver un problema común para toda la
actividad práctica del hombre - cómo disponer de sus medios para obtener, en la
medida de lo posible, mayor provecho tienen una importancia especial.
1. Dos trenes
Problema
Dos líneas férreas se cruzan formando un ángulo recto. Los trenes se acercan a gran
velocidad hacia el cruce. Uno partede cierta estación situada a 40 km del cruce; el
otro, de una estación que dista 50 km del cruce. El primero marcha a una velocidad
de 800 m/min y el segundo a 600 m/min. ¿Cuántos minutos transcurrirán desde el
momento de la partida para que las locomotoras se hallen a la menor distancia entre
sí, y cuál será esa distancia?
Solución
Dibujemos el esquema de la marcha de los trenes. Supongamos quelas líneas
rectas AB y CD son dos líneas férreas que se cruzan (figura 19).
La estación B se encuentra a 40 km del cruce O, y la estación, D a 50 km.
Admitamos que al cabo de x minutos los trenes se encuentran a la distancia más
próxima entre sí: (MN = m). El tren que sale de B hace el recorrido BM = 0,8x, ya
que en un minuto recorre 800 m = 0,8 km. Por consiguiente, OM = 40 - 0,8x. Del
mismo modohallaremos que ON = 50 - 0,6x. Según el teorema de Pitágoras

MN = m =

Capítulo 7

OM2 + ON2 = (40 − 0,8x)2 + (60 − 0,6 x)2

1

Patricio Barros

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Figura 19.
Elevemos al cuadrado ambas partes de la ecuación

m=

(40 − 0,8 x) 2 + (50 − 0,6 x)2

y operando tendremos

x 2 − 124 + 4100 − m 2 = 0
Resolviendo la ecuación para hallar el valor de x, resultará

x = 63 ±m2 − 256
Ya que x, el número que expresa los minutos transcurridos, no puede ser una raíz
imaginaria, entonces m2 - 256 debe ser una magnitud positiva o, a lo sumo,
equivalente a cero. El último es el que corresponde al valor mínimo de m; de aquí
que:
m2 = 256, o sea, m = 16.
Es evidente que m no puede ser menor que 16, de lo contrario x se convertiría en
una raíz imaginaria. Y si m2 – 256 = 0,entonces x = 62.
De esta forma las locomotoras llegan a su punto de mayor aproximación al cabo de
62 minutos, y la distancia que las separa será de 16 km. Determinemos dónde se
encontrará cada una en el momento de mayor aproximación. Al buscar la distancia
OM, tendremos que es igual a
40 – 62 × 0,8 = -9,6.
El signo negativo indica que la primera locomotora habrá rebasado el cruce en 9,6
km. Ladistancia ON será:
50 – 62 × 0,6 = 12,8.
Es decir, que a la segunda locomotora le faltarán 12,8 km para llegar al cruce.

Capítulo 7

2

Patricio Barros

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Figura 20
En la figura 20 se ve la posición que ocupan las locomotoras en el momento dado.
Se puede apreciar que ésta no es tal y como nos la imaginábamos al principio. La
ecuación ha resultado ser tan toleranteque, a pesar de lo erróneo del esquema, nos
da un resultado acertado. No es difícil averiguar de dónde proviene esa tolerancia,
que está condicionada por las reglas algebraicas de los signos.
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2. ¿Dónde construir el apeadero?
Problema
A 20 km del ferrocarril, cuya línea es recta, se encuentra el punto poblado B (figura
21).

Figura 21.
¿Dónde hay que construir el apeadero C para que en el...