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Ley de composición interna:
Dado un conjunto A y una operación {\displaystyle \odot }, que representaremos como el par {\displaystyle (A,\odot )}, se dice que {\displaystyle \odot } es una ley de composición interna u operación interna en A cuando es una aplicación de la forma siguiente.1
A ∗ b = c ∈ E, ∀ a, b ∈ E{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\odot :&A\times A&\to &A\\&(a,b)&\to &c=a\odotb\end{array}}}
Una ley de composición interna asigna a cada par ordenado (a, b), cuyas componentes pertenecen ambas al conjunto A, un tercer elemento c, también contenido en A.2 3 4 Este elemento c es único para cada par (a, b) determinado, lo cual se expresa en símbolos de la siguiente manera.
Propiedades de la ley de la composición interna:
-Asociatividad
Definición
Sea ∗ ley de composicióninterna en E, decimos que ∗ es asociativa si y solo si a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, ∀ a, b, c ∈ E.
Ejemplo
1. La adición en Z es asociativa.
2. La multiplicación es asociativa en N, Z, Q, R.
3. ∗ definida en R por a ∗ b = a + b + 2ab es asociativa ya que a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + c + 2bc)
= a + (b + c + 2bc) + 2a (b + c + 2bc)
= a + b + c + 2bc + 2ab + 2ac + 4abc.
Por otro lado (a ∗ b) ∗ c = (a + b +2ab) ∗ c
= (a + b + 2ab) + c + 2(a + b + 2ab) c
= a + b + 2ab + c + 2ac + 2bc + 4abc
Como a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c entonces ∗ es asociativa.
4. ∗ definida en R por a ∗ b = a + 2b no es asociativa ya que, por ejemplo, 2 ∗ (5 ∗ 3) = 2 ∗ (5 + 2 · 3)
= 2 ∗ (5 + 6)
= 2 ∗ 11 = 2 + 2 · 11
= 24
No es igual a (2 ∗ 5) ∗ 3 = (2 + 2 · 5) ∗ 3
= (2 + 10) ∗ 3
= 12 ∗ 3
= 12 + 2 · 3
= 18.
5. Si A es un conjunto yP(A) = {X / X ⊆ A} entonces la operación ∪, ∩ definida en P(A) es asociativa.
- Distributividad
Definición
Sean ∗, ∇ dos leyes de composición interna en el conjunto E,
a) Se dice que ∗ distribuye por la izquierda sobre ∇ si y solo si a ∗ (b∇c) = (a ∗ b) ∇(a ∗ c), ∀ a, b, c ∈ E.
b) Se dice que ∗ distribuye por la derecha sobre ∇ si y solo si (b∇c) ∗ a = (b ∗ a) ∇(c ∗ a), ∀ a, b, c ∈ E.
c) Se diceque ∗ es distributiva sobre ∇ si y solo si cumple a) y b).
Ejemplo
1. La multiplicación es distributiva con respecto de la adición en R ya que a · (b + c) = a · b + a · c, ∀ a, b, c ∈ R y (a + b) · c = a · c + b · c, ∀ a, b, c ∈ R.
2. La adición no es distributiva con respecto de la multiplicación en R ya que, por ejemplo, 2 + (5 · 4) ̸= (2 + 5) · (2 + 4).
Ejemplo
Sean ∗: R + × R + → R + tal que a∗ b = b
A y ∇: R + × R + → R + tal que a∇b = a · b dos leyes de composición interna.
a) Pruebe que ∗ es distributiva por la izquierda con respecto de ∇.
b) Pruebe que ∗ no es distributiva por la derecha con respecto de ∇.
Solución.
a) Debemos demostrar que a ∗ (b∇c) = (a ∗ b) ∇(a ∗ c), ∀ a, b, c ∈ R +, a ∗ (b∇c) = a ∗ (b · c)
= (b · c)
A = b
A· c
a = (a ∗ b) ∇(a ∗ c).
b) Como (a∇b) ∗ c = (a · b) ∗ c= c
A·b y (a ∗ c) ∇ (b ∗ c) = c
a∇b (b = c) a+b y dado que c
A·b ̸= c a+b concluimos que ∗ no es distributiva por la derecha con respecto de ∇.
- Elemento Neutro
Definición
Sea ∗ ley de composición interna en E, e ∈ E se llama elemento neutro para ∗ si y solo si e ∗ a = a ∗ e = a, ∀ a ∈ E.
Ejemplo
1. 0 ∈ R es neutro para la adición en los números reales.
2. 1 ∈ R es neutro para la multiplicaciónen los números reales.
3. ∩: P(X) × P(X) → P(X) donde X es un conjunto y P(X) es el conjunto potencia de X tiene neutro e = X ya que A ∩ X = X ∩ A = A, ∀ A ∈ P(X).
Proposición
Sea ∗ ley de composición interna en E entonces, si existe elemento neutro, este es único.
Demostración.
Sean e, e1 dos neutros para ∗, debemos demostrar que e = e
1; tenemos, e ∗ e1 = e1 ya que e es neutro, por otro ladoe ∗ e1 = e ya que e1 es neutro, así, e = e1.
- Conmutatividad
Definición
Sea ∗ ley de composición interna en E, ∗ es conmutativa en E si y solo Si a ∗ b = b ∗ a, ∀ a, b ∈ E.
Ejemplo
1. La adición y la multiplicación son operaciones conmutativas en Z, Q, R.
2. La unión y la intersección de conjuntos son operaciones conmutativas en el conjunto potencia del conjunto A.
3. La operación ∗ definida...