Algrebra Lineal Unidad 4

Algebra lineal

Luis Manuel Rodríguez Vela

Unidad 4 espacios vectoriales

Entrega: 11/06/2012

Num control: E11021286

4 ESPACIOS VECTORIALES
4.1 Definición de Espacio vectorial:
Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn oR2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.
Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimencional , debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siemprecumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.
Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones <conjunto, operación, operación> (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial espreciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.
Cuerpo:
Es el conjunto de números y operaciones cualesquiera que deben obedecer las diez propiedades algebraicas que mencionamos en operaciones básicas de espacios vectoriales.
Sub cuerpo:
Si se operanescalares en forma de sub cuerpo C y se operan bajo la suma y la multiplicación por un escalar estos escalares no deben salirse del sub espacio determinado y las operaciones de prueba son las mismas que se han mencionado con anterioridad.

4.2 Definición de Sub espacio vectorial y sus propiedades:
Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio deV. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.
Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.
Combinación Lineal:
Se denominacombinación lineal a u vector V en un espacio vectorial U u un cuerpo h.
Si los vectores v1, v2, v3, ..., vn en u si V puede expresarse como:
V = c1v1 + c2v2 + c3v3 +... + cnvn donde c son escalares del cuerpo h.
Envolvente Lineal:
Este es el conjunto de todas las combinaciones lineales semejantes denotado por Lin(v1, v2, ..., vn) y se denomina envolvente lineal de u1, u2, ...,un.
Siendo S unsub conjunto de un espacio vectorial V entonces Lin S es un sub conjunto de un espacio vectorial V y si W es un subconjunto de V que contiene a S, necesariamente Lin S es complemento de W.

4.3 Combinación lineal. Independencia lineal:
Si todo vector es un espacio vectorial puede ser expresado como combinación lineal como lo vimos anteriormente entonces se dice que la combinación lineal es unconjunto generador de un espacio vectorial..
En otras palabras si u1, u2, ..., un generan u entonces u pertenecen a V si existen escalares c tal que:
V = c1u1 + c2v2 + ... + cnun entonces V es una combinación lineal de u1, u2, ..., u3 .
Espacio fila y Espacio Columna de una Matriz:
Si A es una matriz m x n en un cuerpo K cualquiera, las filas de A pueden ser vistas como vectores de Kn llamadoespacio fila de U denotado por f - Lin A.
Así haciendo la matriz transpuesta esto quiere decir que si las columnas las hacemos vectores de Km estos generan un sub espacio de Km llamado espacio columna de A denotado c-Lin A.
Si hacemos operaciones elementales entre fila a A y obtenemos una matriz B podemos decir que B es que cada fila de B es una combinación lineal de cada fila de A por lo que...