AMI Resumen Teorico 1

Análisis Matemático
Resumen Teorico

Año 2013
UTN - FRC
Santiago Pérsico

Limites
El límite de una función F(x), cuando los valores de x tienden a c (se acercan a c), es igual a L si y solo si, para todo
numero € real positivo mayor que 0, es posible encontrar otro número 𝛿 positivo mayor que 0 𝛿 tal que

0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 𝑥 − 𝐿 < €
La notación de un límite es
lim 𝑓 𝑥 = 𝐿

𝑥→𝑐Observación: La existencia de un límite en un punto determinado no implica
que la función esté definida en ese mismo punto.

Podemos mencionar a los Limites Laterales, es decir, límites que tienden al
valor especificado solo por valores inferiores (limites por izquierda) o por
valores mayores (limites por derecha).
Límites al Infinito
Siendo N y M números positivos (de cualquier magnitud)


lim𝑥→∞ 𝑓 𝑥 = 𝐿 ↔𝑥 > 𝑁, 𝑓 𝑥 − 𝐿 < €



lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = ∞ ↔ 𝑥 − 𝑐 < 𝛿, 𝑓 𝑥



lim𝑥→∞ 𝑓 𝑥 = ∞ ↔ 𝑋 > 𝑁, 𝑓 𝑥

>𝑀

>𝑀

Propiedades de Limites
El límite de Una constante
El límite de La función identidad
El límite del producto de una función y una constante
El límite de Una suma
El límite de Una resta
El límite de Un producto
El límite de Un cociente
El límite de Una potencia
El límite de Un logaritmo

Limites Notables(demostración)
Del seno

𝒔𝒆𝒏𝒙
=𝟏
𝒙→𝟎 𝒙

𝐥𝐢𝐦

𝒔𝒆𝒏 𝒙 < 𝒙 < 𝒕𝒈(𝒙)
𝟏
𝟏
𝟏
> >
𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒙 𝒕𝒈 𝒙
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒔𝒆𝒏 𝒙
>
>
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝟏>

𝒔𝒆𝒏 𝒙
> 𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒙

Tomando el límite de todo
lim𝑥→0 1 = 1 ; lim𝑥→0
𝟏 ≥ lim

𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥

𝑥→0

; lim𝑥→0 cos⁡
(𝑥) = 1

𝑠𝑒𝑛 𝑥
≥𝟏
𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥
=1
𝑥→0
𝑥
lim

De la tangente

𝒕𝒈(𝒙)
=𝟏
𝒙→𝟎
𝒙

𝐥𝐢𝐦

𝒔𝒆𝒏 𝒙 < 𝒙 < 𝒕𝒈(𝒙)
𝟏
𝟏
𝟏
> >
𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒙 𝒕𝒈 𝒙
𝒕𝒈(𝒙)
𝒕𝒈(𝒙) 𝒕𝒈(𝒙)
>
>
𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝒙
𝒕𝒈(𝒙)
𝟏𝒕𝒈(𝒙)
>
>𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒙
Tomando el límite de todo
1

lim𝑥→0 cos ⁡(𝑥 = 1 ; lim𝑥→0 1 = 1 ; lim𝑥→0
𝑡𝑔 𝑥
≥𝟏
𝑥→0
𝑥

𝟏 ≥ lim

𝑡𝑔 𝑥
=1
𝑥→0
𝑥
lim

Continuidad

𝑡𝑔 𝑥
𝑥

;

Una función es continua en un punto c, cuando para todo número € real positivo, existe otro número 𝛿 también real y
positivo, tal que

𝑥 − 𝑐 < € 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) < 𝛿
Expresado de otra manera, f(x) es continua en c si:




En (c) hay imagen. O seaExiste F(c)
Que haya sus límites laterales que tiendan a ese punto sean iguales.



Que la imagen coincida con el límite de la función. F(c)=

lim

𝑥→a

Continuidad en un intervalo
Si se cumple que f(x) es continua en un intervalo [a, b], entonces es continua para todos los puntos intermedios del
intervalo, y es continua a la derecha de (a) y a la izquierda de (b). Si esta última condición no secumple decimos que es
continua en (a, b) (intervalo abierto).

Teorema de Bolzano
Cuando f(x) es continua en un intervalo cerrado y toma valores positivos y negativos dentro de ese intervalo, entonces al
menos un punto se anulará dentro del intervalo abierto.

Teorema del Valor intermedio
Si f(x) es continua entre [a, b], y hay un k entre [f(a), f(b)], entonces hay un c entre (a,b) tal que f(c)=k.Teorema de Weierstrass
Si y=f(x) es continua entre [a, b] entonces f(x) tiene un mínimo y un máximo absoluto dentro de dicho intervalo.

Discontinuidad
Una f(x) es considerada discontinua, cuando no cumple alguna o ninguna condición de continuidad.
Podemos encontrar diversos tipos de discontinuidad:



 De segunda especie es cuando no existen uno o ambos límites.
De salto infinito es cuando unoo ambos límites que tienden al punto tienden a infinito
 Es EVITABLE, cuando 𝑓 𝑐 ≠ lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥)

Derivadas
La derivada de una función f(x) respecto de x, es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el
incremento de la variable tiende a 0.
O expresado con otras palabras, es el Límite que tiende a 0 de la razón de crecimiento de f(x) al incremento de x.
Sabemos que:
∆𝒙 = 𝒙𝟏 −𝒙𝟎

𝒚 𝒒𝒖𝒆 ∆𝒚 = 𝒇 𝒙𝟎 + ∆𝒙 − 𝒇 𝒙𝟎

Entonces
∆𝒚 𝑭 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙)
=
∆𝒙
∆𝒙
Representa la rapidez de la variación de la función por unidad de variación de la variable independiente, la velocidad
de cambio de la curva en un punto.
𝑭′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦

∆𝒚

∆𝒙→𝟎 ∆𝒙

= 𝐥𝐢𝐦

∆𝒙→𝟎

𝑭 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙)
∆𝒙

Interpretación Grafica de la Derivada

∆𝒚
∆𝒚
= 𝑺 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦 𝒕𝒂𝒏(𝜶) = 𝐥𝐢𝐦 𝒕𝒂𝒏 𝜶 = 𝒕𝒂𝒏(𝐥𝐢𝐦 𝜶 = 𝒕𝒂𝒏...