Analisis Calculo III

Apunte para el Curso An´ lisis I
a
Felipe Alvarez D.

S ANTIAGO 4 DE SEPTIEMBRE DE 2001

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Indice General
1 Teor´a Axiom´ tica de Conjuntos
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1.1 Introducci´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.2 Breve recuerdo de l´ gica simb´ lica . . . . . .
o
o
1.3 Definici´ n axiom´ tica de conjunto . . . . . .
o
a
1.4 Existencia y generaci´ n de conjuntos . . . . .
o
1.5El axioma del infinito y los enteros naturales .
1.6 El axioma de elecci´ n . . . . . . . . . . . . .
o
1.7 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Equipotencia y cardinalidad . . . . . . . . .
1.8.1 Propiedades de los conjuntos infinitos
1.9 El lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 N´ meros cardinales . . . . . . . . . . . . . .
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2 Espacios Topol´ gicos
2.1 Introducci´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.2 Definiciones preliminares y ejemplos . . . . . .
2.3 Bases de abiertos . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Bases de vecindades . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Operaciones topol´ gicas elementales . . . . . .
o
2.6 Subespacios topol´ gicos: Topolog´a traza . . .
o
ı
2.7 Axiomas de separaci´ n . . .. . . . . . . . . .
o
2.8 Convergencia: sucesiones y redes . . . . . . .
2.9 Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Homeomorfismo . . . . . . . . . . . .
2.11 Topologia inducida por una familia de funciones
2.11.1 Topolog´a producto . . . . . . . . . . .
ı
2.11.2 Topolog´a cuociente . . . . . . . . . .
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2.12Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Completitud En Espacios M´ tricos
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3.1 Sucesiones de Cauchy y Completitud . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Aplicaciones de la completitud . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Compacidad y completitud . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Completaci´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
3.5 Espacio de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Compacidad en ´ ´Ã µ ½ µ: Teorema de Arzela–Ascoli . .
3.7 Densidad en ´ ´Ã µ ¡ ½ µ: Teorema de Stone–Weierstrass

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Espacios de Hilbert
4.1 Definiciones ypropiedades b´ sicas . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
4.2 Base Hilbertiana y Descomposici´ n Ortogonal . . . . . . . . . . .
o
4.3 Dualidad y topolog´a d´ bil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ii

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Cap´tulo 1
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Teor´a Axiom´ tica de Conjuntos
ı
a
1.1 Introducci´ n
o
La noci´ n de Conjunto sirve de fundamento para todaslas matem´ ticas. Cada una
o
a
de sus disciplinas suele presentar su respectivo campo de estudio como un tipo de
conjuntos, entendidos intuitivamente como una colecci´ n de objetos caracterizados
o
por ciertas condiciones. Para precisar un conjunto podemos intentar proporcionar
una lista exaustiva de sus elementos, lo que se conoce como definici´ n por exteno
si´ n. Otra forma consiste en...