Analisis de varianza

ANÁLISIS DE VARIANZA

En el capítulo anterior se utilizó la inferencia estadística para obtener conclusiones entre las medias de dos grupos. En este capítulo se examinarán técnicas desarrolladas para probar las diferencias en las medias de varios grupos. Esta metodología se clasifica bajo el título general de análisis de varianza o ANOVA
Primero se considerará un modelo ANOVA completamentealeatorizado o en un sentido que sólo tiene un factor con varios grupos. Sin embargo, el análisis de varianza se puede ampliar fácilmente para manejar casos donde se estudie más de un factor en un experimento.
Supongamos que queremos comparar las medias de K poblaciones, cada una de las cuales se supone que tiene la misma varianza. Tomemos, para esas poblaciones, muestras aleatorias independientesde tamaños n1, n2…, nk, respectivamente. Utilizaremos el símbolo x para designar los valores muestrales actuales y le pondremos dos subíndices, de manera que xij designará la observación j-ésima en la población i-ésima.
El procedimiento para contrastar la hipótesis de igualdad de medias en este contexto se denomina análisis de varianza de un factor.

|Esquema para el análisis devarianza de un factor. |
|Suponemos que tenemos muestras aleatorias independientes con n1, n2…, nk observaciones de K poblaciones. Si representamos las |
|medias poblacionales por μ1, μ2 …, μk, el análisis de la varianza de un factor está diseñado para contrastar la hipótesis nula y|
|la alternativa en la formasiguiente: |
|H0: μ1 = μ = … = μk |
|H1: No todas las medias son iguales. |

En esta sección desarrollaremosencontraste de la hipótesis nula de igualdad de medias para K poblaciones, dadas muestras aleatorias independientes para tales poblaciones. El primer paso será calcular las medias muestrales para los K grupos de observaciones. Representaremos estas medias muestrales por [pic]. Entonces, formalmente [pic] donde ni representa el número de observaciones muestrales en el grupo i. Según esta notaciónse tiene la siguiente tabla:

POBLACIÓN
1 2 K
x11 x21 xk1
x12 x22 xk2
. ..
. . .
. . .
X1n1 x2n2 xknk
Ahora, la hipótesis nula especifica que las K poblaciones tienen una media común. El paso lógico sería construir unestimador de dicha media común a partir de los datos muestrales. Una posible elección para tal estimador sería la media global de todas las observaciones muestrales. Es decir, la suma de todas las observaciones muestrales dividida por el número total de observaciones muestrales. Si n es el número total de observaciones muestrales, entonces, [pic][pic] de manera que, la media de todas lasobservaciones muestrales se puede expresar como [pic] donde la doble sumatoria indica que sumamos sobre todos los grupos y sobre todas las observaciones en cada grupo, es decir, sumamos todas las observaciones disponibles. Una expresión equivalente será [pic].
El contraste de igualdad de medias está basado en la comparación de dos tipos de variabilidad de los miembros de la muestra. La primera es...