Anyp 05

Análisis Numérico y Programación (2013)

PRACTICA 5
Transformaciones lineales.
Un creyente le pregunta a un matemático:
- ¿Cree usted en un Dios único?
- Sí, salvo isomorfismos.

Transformaciones lineales. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. Una
función T : V → W es una transformación lineal de V en W si verifica que T (kx+y) = kT (x)+T (y)
cualesquiera sean los elementosx e y de V y todo escalar k de K. Así pues, una transformación
lineal respeta las operaciones de los espacios vectoriales y por esta razón se la conoce también
como un homomorfismo entre espacios vectoriales.
Ejercicio 1. Sea T : V → W una transformación lineales entre los espacios vectoriales V y W
sobre el mismo cuerpo K. Mostrar que:
a) T (0) = 0.
b) T (−x) = −T (x), para todo x ∈ V .
c) T (n
i=1

ki xi ) =

n
i=1

ki T (xi ), para cualesquiera vectores xi ∈ V y escalares ki ∈ K.

d) Si el conjunto {x1 , x2 , . . . , xn } ⊂ V es linealmente dependiente, entonces el conjunto
{T (x1 ), T (x2 ), . . . , T (xn )} ⊂ W es también linealmente dependiente.
Ejercicio 2.
a) Sea V un espacio vectorial e I : V → V la función identidad tal que I(x) = x, para todo
x ∈ V . Probar que I es unatransformación lineal.
b) Sean V y W espacios vectoriales sobre K y O : V → W la función nula tal que O(x) = 0,
para todo x ∈ V . Mostrar que es una transformación lineal.
c) Sea A una matriz de K m×n . Probar que la función T : K n → K m definida por T (x) = Ax,
para todo x ∈ K n (escrito como vector columna) es una transformación lineal.
d) Sea W el espacio vectorial de todas las funciones de R en Ry V el espacio vectorial de
las funciones derivables definidas en R. Sea D : V → W el operador derivación, tal que
D(f ) = f ′ , es decir, la aplicación tal que a cada función derivable f le hace corresponder su
derivada f ′ . Mostrar que D es una transformación lineal.
e) Sea V el espacio de las funciones continuas de R en R, y sea J : V → V el operador integración,
x
tal que J(f ) = 0 f (t) dt.Mostrar que J es una transformación lineal.
f) Sea Tθ : R2 → R2 tal que Tθ (x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ), donde θ es un número
real dado. Mostrar que Tθ es una transformación lineal. Mostrar que, geométricamente, la
acción de Tθ sobre un vector (x, y) ∈ R2 es una rotación de ángulo θ alrededor del origen en
sentido contrario a las agujas del reloj.
g) Sea T : C → C la funciónconjugación en el cuerpo complejo C, esto es, T (x, y) = (x, −y)
para cada par ordenado (x, y). Probar que T no es una transformación lineal si C se ve como
espacio vectorial sobre sí mismo, pero que T es lineal si C se ve como espacio vectorial sobre
el cuerpo real R.
Teorema: Sean V y W espacios vectoriales sobre el cuerpo K, siendo V de dimensión finita. Sea
{x1 , x2 , . . . , xn } una baseordenada de V y y1 , y2 , . . . , yn vectores cualesquiera de W . Entonces,
existe y es única, una transformación lineal T : V → W tal que T (xi ) = yi , i = 1, . . . , n.
Nota 1. Este teorema muestra que una transformación lineal está completamente determinada por los
valores que asigna a los elementos de una base del espacio vectorial donde está definida.

Práctica 5

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Análisis Numérico yProgramación (2013)

Nota 2. Subrayemos el hecho de que los vectores yi son completamente arbitrarios; pueden ser linealmente
dependientes o incluso iguales entre sí.

Ejercicio 3.
a) Encontrar una transformación lineal T : R2 → R3 tal que T (1, 1) = (1, 2, 0) y T (1, 2) =
(1, 0, −1). Calcular T (2, −3).
b) Investigar si existe una transformación lineal T : R2 → R tal que T (1, 2) = 3, T (2, 2) = −1 y
T(2, 5) = 19/2.
Núcleo e imagen de una transformación lineal. Sea T : V → W una transformación lineal.
El núcleo de T , denotado por N (T ), es el subconjunto de elementos de V cuyas imágenes por T
son el vector nulo de W : N (T ) = {x ∈ V : T (x) = 0}. La imagen de T , denotada por I(T ), es
el subconjunto de elementos de W formado por las imágenes, mediante T , de los vectores de V :
I(T ) = {T...