aplicaciones de la integral definida

Cap´ıtulo 6

Aplicaciones de la integral.
6.1.

C´
alculo del ´
area de una figura plana.

En general, para calcular el a´rea de una regi´
on plana:
1.

La dividimos en franjas, infinitamente estrechas, de manera horizontal
o vertical,

2.

Suponemos que las franjas son rect´
angulos, con lo cual su a´rea se
obtendr´
a como el producto de la base por la altura (la base ser´
a el
diferencialcorrespondiente dx o dy), es decir,
da = h dx, o bien, da = h dy.

3.

Calculamos el ´area total como la suma de las ´areas de los infinitos
rect´angulos:
b

da

A=
a

Los l´ımites de integraci´
on se determinan estudiando el recorrido del
diferencial correspondiente.
Si las curvas se cortan dentro del intervalo de integraci´
on, entonces habr´
a que
descomponer la integral en dichos puntos y calcularlas a´reas por separado.
En particular,
´
Proposici´
on 6.1 (Area
bajo una curva). El a
´rea del trapecio curvil´ıneo
limitado por la curva y = f (x), siendo f (x) ≥ 0, por las rectas verticales
x = a y x = b y por el segmento [a, b] del eje Ox viene definido por la
integral,
b

A=

f (x) dx
a

377

CAP´ITULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL.

378

´
Proposici´
on 6.2 (Area
entre dos curvas). El a´rea de la regi´
on limitada
por las curvas y = f1 (x) e y = f2 (x), siendo f1 (x) ≤ f2 (x), y por las rectas
x = a y x = b viene definida por la integral,
b
a

ä

ç

f2 (x) − f1 (x) dx

Ejemplo 6.1. Hallar el a
´rea de la regi´
on comprendida entre la par´
abola
2
x = y + 1 y la recta x = 3
Soluci´
on. En primer lugar localizamos el recinto. Podemos utilizar la funci´
on
tal como viene definida obien trasladarla y girarla con objeto de hacer
coincidir la recta x = 3 con uno de los ejes de coordenadas. En este
ejemplo, utilizaremos la funci´
on tal como viene definida y dividiremos el
recinto en franjas horizontales o verticales.
(a) Franjas horizontales:
y
2

Los puntos de corte de ambas curvas son:
√
√
x = 3 → 3 = y 2 + 1 → y = ± 2 → (3, ± 2)

1
x
−1
−1

1

2

3

da = h dy = (3−x)dy = [3−(y2 +1)]dy = (2−y 2 )dy

−2

Con lo cual el a´rea total ser´
a:
√

A=

el diferencial de a´rea viene definido por:

√

2

√
− 2

da = 2

2

0

√

y3
(2 − y )dy = 2 2y −
3
2

2

0

√
√
2 2
=2 2 2−
3

=

√
8 2
3

(b) Franjas verticales:
y
2

En este caso los l´ımites de integraci´
on son:
x1 = 1 y x2 = 3

1
x
−1
−1

1

2

3

−2

Con lo cual el a´rea total ser´
a:
3

A=

el diferencial de a´rea vienedefinido por:
√
da = h dx = (2y)dx = 2 x − 1 dx = 2(x − 1)1/2 dx

1

3

da = 2

1

1/2

(x − 1)

dx = 2

å2
3

3/2

(x − 1)

è3
1

√
2 √
8 2
2 2−0 =
=2
3
3

Ejemplo 6.2. Calcular el a
´rea de la regi´
on comprendida entre las par´
abolas
x = y2 + 1 y x = 3 − y2 .

´
´
6.1. CALCULO
DEL AREA
DE UNA FIGURA PLANA.

379

Soluci´
on. En primer lugar localizamos el recinto. Podemos utilizar las funciones taly como vienen definidas o bien intercambiar la x por la y con
objeto de que sean funciones respecto de x. En este ejemplo utilizaremos
las funciones tal y como vienen definidas y dividiremos el recinto en franjas
horizontales.
Los puntos de corte de ambas curvas los obtenemos
por igualaci´
on:
y 2 + 1 = 3 − y 2 → 2y 2 = 2 → y = ±1

y
1

Es decir, P (2, 1) y Q(2, −1)

x
1

−1

2

el diferencial dea´rea viene definido por:

3

ä

ç

da = h dx = (xd −xi )dy = (3−y 2 )−(y 2 +1) dy =
= (2 − 2y 2 )dy
Con lo cual el a´rea total ser´
a:
1

A=

1

−1

da = 2

1

da = 2
0

0

æ

y3
(2 − 2y )dy = 4 y −
3

é1

2

0

8
1
= 4(1 − ) =
3
3

Tambi´en podemos dividir la regi´
on en franjas verticales, pero en este caso
el c´alculo del a´rea resulta un poco m´
as complicado, ya que tenemos que
descomponer laregi´
on en dos regiones. En efecto,
2

A=

1
2

=

1

3

da1 +

2

2

da2 =

√
2 x − 1dx +

3
2

1

3

2y1 dx +

2

2y2 dx =

√
2(x − 1)3/2
2 3 − xdx = 2
3

2

3

+2
1

−2(3 − x)3/2
=
3
2
8
4 4
= + =
3 3
3

Ejemplo 6.3. Calcular el a
´rea de la regi´
on limitada por las gr´
aficas de
y = (x − 2)2 e y = 3.
Soluci´
on. Para facilitar los c´
alculos podemos desplazar el recinto 2 unidades
a la...